En el control PID, ¿qué representan los polos y ceros?

Cada vez que leo un texto sobre control (por ejemplo, control PID), a menudo menciona 'polos' y 'ceros'. ¿Qué quieren decir con eso? ¿Qué estado físico describe un polo o un cero?

La función que describe cómo las entradas de un sistema se correlacionan con la salida del sistema se denomina función de transferencia.$T(\mathbf{x})$

Para sistemas lineales, la función de transferencia se puede escribir como donde y son polinomios, es decir,$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Los ceros del sistema son los valores de que satisfacen la declaración . En otras palabras, son las raíces del polinomio . Como . se aproxima a cero, el numerador de la función de transferencia (y, por lo tanto, la función de transferencia en sí) se aproxima al valor 0.$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Del mismo modo, los polos del sistema son los valores de que satisfacen la declaración . En otras palabras, son las raíces del polinomio . Cuando acerca a un polo, el denominador de la función de transferencia se aproxima a cero, y el valor de la función de transferencia se acerca al infinito.D ( x ) = 0 D ( x ) D ( x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Los polos y ceros nos permiten comprender cómo reaccionará un sistema a varias entradas. Los ceros son interesantes por su capacidad de bloquear frecuencias, mientras que los polos nos proporcionan información sobre la estabilidad del sistema. Generalmente, graficamos los polos y ceros en el plano complejo y decimos que un sistema es de entrada limitada, de salida limitada (BIBO) estable si los polos se encuentran en la mitad izquierda del plano complejo (LHP - Medio plano izquierdo).

Finalmente, cuando diseñamos un controlador estamos en efecto manipulando sus polos y ceros para lograr parámetros de diseño específicos.

Estas funciones de transferencia polinomiales se producen cuando realiza una transformación de Laplace en alguna ecuación diferencial lineal que realmente describe su robot o es el resultado de linealizar la dinámica del robot en algún estado deseado. Piense en ello como una "expansión de Taylor" en torno a ese estado.

La transformada de Laplace es la generalización de la transformada de Fourier a funciones que no son periódicas. En ingeniería eléctrica, la transformada de Laplace se interpreta como la representación del sistema en el dominio de la frecuencia , es decir, describe cómo el sistema transmite las frecuencias de la señal de entrada. Los ceros luego describen frecuencias que no se transmiten. Y como ya mencionó DaemonMaker, los polos son importantes cuando se considera la estabilidad del sistema: la función de transferencia del sistema llega al infinito cerca de los polos.

Lo que significan en un contexto de control:

Polos : le dicen si un sistema (que también puede ser un sistema nuevo, en el que ha insertado un bucle de retroalimentación con una ley de control) es estable o no. Por lo general, desea que un sistema sea estable. Por lo tanto, desea que todos los polos del sistema estén en el semiplano izquierdo (es decir, las partes reales de los polos deben ser menores que cero). Los polos son los valores propios de la matriz de su sistema . Cuán lejos están en el semiplano izquierdo le dice qué tan rápido el sistema converge a su estado de reposo. Cuanto más lejos estén del eje imaginario, más rápido converge el sistema.

Ceros : pueden ser convenientes si tiene un poste en el semiplano derecho o aún en el semiplano izquierdo, pero demasiado cerca del eje imaginario: mediante una modificación inteligente de su sistema, puede cambiar los ceros en sus polos no deseados para aniquilarlos. ellos .

Realmente no puedo hablar por los ceros de la función de transferencia, pero los polos de la función de transferencia definitivamente tienen una interpretación significativa.

Para comprender esta interpretación, debe recordar que el sistema que queremos controlar es realmente una de dos cosas: una ecuación diferencial o una ecuación de diferencia . En cualquier caso, el enfoque común para resolver estas ecuaciones es determinar sus valores propios. Más importante aún, cuando el sistema es lineal, los valores propios de la ecuación diferencial / diferencia corresponden exactamente a los polos de la función de transferencia. Entonces, al obtener los polos, realmente está obteniendo los valores propios de la ecuación original. Son los valores propios de la ecuación original (en mi opinión) los que realmente determinan la estabilidad del sistema; Es simplemente una sorprendente coincidencia que los polos de un sistema lineal sean exactamente los valores propios de la ecuación original.

Para ilustrar esto, considere los dos casos por separado:

Caso 1: ecuación diferencial

Cuando todos los valores propios de una ecuación diferencial tienen una parte real negativa, entonces todas las trayectorias (es decir, todas las soluciones) se acercan a la solución de equilibrio en el origen (x = 0). Esto se debe a que las soluciones de una ecuación diferencial son típicamente de la forma de una función exponencial como , donde es el valor propio. Por lo tanto, la función como solo si . De lo contrario, si , la cantidad probablemente aumentaría hasta el infinito en magnitud o simplemente no convergería a cero. λ x ( t ) → 0 t → ∞ R e ( λ ) < 0 R e ( λ ) ≥ 0 e λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Caso 2: ecuación de diferencia

Cuando todos los valores propios de una ecuación de diferencia son menores que 1 en magnitud, entonces todas las trayectorias (es decir, todas las soluciones) se acercan a la solución de equilibrio en el origen (x = 0). Esto se debe a que las soluciones de una ecuación de diferencia son típicamente de la forma de una secuencia exponencial como , donde es el valor propio. Por lo tanto, la secuencia como solo si . De lo contrario, si , la cantidad explotaría hasta el infinito en magnitud o simplemente no convergería a cero. λ x t → 0 t → ∞ | λ | < 1 | λ | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

En cualquier caso, los polos de la función del sistema y los valores propios de la ecuación diferencial / diferencia (homogénea) son exactamente lo mismo. En mi opinión, tiene más sentido para mí interpretar los polos como valores propios porque los valores propios explican la condición de estabilidad de una manera más natural.