¿Cómo calculo la frecuencia de bucle requerida para un servocontrolador?

Tengo un motor que impulsa una cadena conectada a una celda de carga. Me gustaría implementar un controlador de circuito cerrado para controlar la carga aplicada por el motor a la cadena.

Cadena de accionamiento del motor conectada a una celda de carga

¿Cómo hago para determinar la frecuencia de bucle requerida para crear un sistema de control estable? ¿Es algo así como la frecuencia de Nyquist, donde la velocidad del bucle debe ser al menos dos veces la frecuencia más alta inherente al sistema mecánico?

control motor force

— Rocketmagnet
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Sería beneficioso para las respuestas centrarse en el lado práctico o teórico de la pregunta. ¿Es esta una pregunta teórica pura (donde se ignora la fricción, los errores del sensor, los sesgos del motor, etc.)? No se requeriría que la frecuencia del controlador fuera mayor que el rango de validez del sensor y también estaría definida por las características del motor.

— Gürkan Çetin

Respuestas:

La frecuencia de bucle es un parámetro que debe ajustarse al igual que sus términos proporcionales, integrales y / o derivados. Variarlo tiene un efecto similar en su salida al variar sus otros parámetros. Una frecuencia demasiado baja y nunca alcanzará el estado estable deseado. Demasiado alto y la salida oscilará.

Para determinar la frecuencia de bucle óptima, primero deberá construir gráficos de Bode a partir de datos de prueba o simulación del mundo real:

Las gráficas de Bode muestran de manera concisa toda la información relevante de entrada y salida de frecuencia en dos gráficas: relación de amplitud en función de la frecuencia y desplazamiento de fase en función de la frecuencia. La gráfica de relación de amplitud es una gráfica de log-log mientras que la gráfica de ángulo de fase es una gráfica de semilog (o log-linear).

Para construir un diagrama de Bode, un ingeniero tendría datos empíricos que muestran valores de entrada y salida que varían como funciones sinusoidales del tiempo. Por ejemplo, puede haber datos de temperatura de entrada que varían sinusoidalmente y datos de temperatura de salida que también varían sinusoidalmente.

La relación de amplitud, AR, es la relación de la amplitud de la curva sinusoidal de salida dividida por la amplitud de la curva sinusoidal de entrada.

$A R = \frac{o u t p u t a m p l i t u d e}{i n p u t a m p l i t u d e}$ $AR = \dfrac{outputamplitude}{inputamplitude}$
Para encontrar el cambio de fase, se deben encontrar los períodos de las curvas sinusoidales de entrada y salida. Recuerde que el período, P, es el período de tiempo desde un pico hasta el siguiente.

$P = \frac{1}{f} = \frac{2 π}{ω}$ $P = \dfrac{1}{f} = \dfrac{2\pi}{\omega}$ $f = f r e q u e n c y$ $f = frequency$ $ω = f r e q u e n c y (r a d / s e c)$ $\omega = frequency(rad/sec)$

Reglas prácticas al analizar los gráficos de Bode

En términos generales, un cambio de ganancia desplaza la relación de amplitud hacia arriba o hacia abajo, pero no afecta el ángulo de fase. Un cambio en el retraso de tiempo afecta el ángulo de fase, pero no la relación de amplitud. Por ejemplo, un aumento en el retraso de tiempo hace que el cambio de fase sea más negativo para cualquier frecuencia dada. Un cambio en la constante de tiempo cambia tanto la relación de amplitud como el ángulo de fase. Por ejemplo, un aumento en la constante de tiempo disminuirá la relación de amplitud y hará que el desfase sea más negativo en cualquier frecuencia dada.

Luego deberá determinar la frecuencia de cruce :

El término proporcional mueve la magnitud de la respuesta de frecuencia del bucle abierto hacia arriba o hacia abajo y, por lo tanto, se utiliza para establecer la frecuencia de cruce del bucle abierto. La frecuencia de cruce es la frecuencia a la cual la magnitud tiene una ganancia de 1 (o 0dB). Esta frecuencia es importante ya que está estrechamente relacionada con el ancho de banda de la respuesta de bucle cerrado.

En un sistema ideal, la ganancia proporcional podría hacerse (casi) infinitamente grande, lo que llevaría a un bucle cerrado infinitamente rápido, pero aún estable. En la práctica ese no es el caso. Más bien, entran en juego dos reglas básicas de diseño.

En primer lugar, debe considerarse la frecuencia de muestreo del hardware digital en el que se va a ejecutar el controlador. Una regla general típica es que la frecuencia de cruce debe establecerse en al menos 10 veces más baja que la frecuencia de muestreo del controlador. Conceptualmente, esto asegura que el controlador esté funcionando a una velocidad lo suficientemente rápida que pueda manejar adecuadamente los cambios en la señal que se controla.

La segunda regla general está relacionada con la pendiente de la respuesta de frecuencia en la frecuencia de cruce. Si se puede hacer que la respuesta de magnitud de bucle abierto en el cruce sea cercana a -20dB / década, entonces se puede esperar que el ancho de banda de bucle cerrado esté cerca de la frecuencia de cruce. Tenga en cuenta que los términos integrales y derivados, no solo el término proporcional, se utilizan para controlar la pendiente en el cruce.

(énfasis mío)

Por lo tanto, la frecuencia óptima del bucle de control debe ser aproximadamente 10 veces mayor que la frecuencia de cruce del retardo de fase de su sistema que se puede obtener a través de datos de prueba empíricos o, idealmente, simulación por computadora.

— Embedded.kyle
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Gran respuesta, pero usaría el término ciclo límite en lugar de oscilación en este contexto, ya que es más específico de la teoría de control . Lo importante es que cualquier pequeña perturbación de la trayectoria cerrada haría que el sistema regrese al ciclo límite, haciendo que el sistema se adhiera al ciclo límite . Esto difiere de la simple oscilación en que esta situación indeseable no decae por sí sola y de hecho se perpetúa activamente.

— Mark Booth

@ MarkBooth Nunca estudié la teoría del control formalmente, sino que me metí en ella cuando conseguí un trabajo escribiendo software integrado para controladores de motor. Nunca he escuchado el término ciclo de límite antes y el artículo de Wikipedia sobre él es bastante breve. Los artículos de Wikipedia sobre controladores PID y teoría de control usan el término oscilación pero no mencionan los ciclos límite. ¿Podría señalar algunas otras referencias que discutan los ciclos límite en el contexto específico de la teoría de control? Estoy bastante interesado en aprender más.

— embedded.kyle

La afirmación de que una frecuencia de bucle demasiado alta puede hacer que un sistema sea inestable es esencialmente errónea. El x10 el ancho de banda de control es una buena regla general, pero no hay inconveniente para subir (más allá del costo). Obviamente, si su integrador hace + cada ciclo, entonces es posible que deba reducir su término I (por ejemplo).

— Guy Sirton

Nunca antes había escuchado el término "frecuencia de bucle" utilizado para la frecuencia de muestreo del bucle, sin embargo, ese parece ser el uso aquí. Los antiguos cerradores de bucles analógicos pensarán que se refiere al ancho de banda del bucle (frecuencia de cierre de bucle AKA).

— TimWescott

Establecer una frecuencia de muestreo alta en un bucle de control solo causará problemas de ruido (y no solo de la cuantización) si existe la necesidad de un filtrado de paso bajo en el bucle que de alguna manera se cumpla con el muestreo de baja frecuencia. Esto siempre se puede solucionar poniendo filtros explícitos de paso bajo, si la situación lo amerita.

— TimWescott

Cuando la cuerda no está bajo tensión, tiene un sistema no lineal (es decir, está empujando una cuerda) que también puede hacer que sea más difícil de controlar. La rigidez de su cadena va a limitar su ancho de banda. (La cuerda actúa como un filtro de paso bajo, al menos cuando está bajo tensión). De hecho, he trabajado un poco en una configuración similar y fue muy difícil de controlar.

Dado que está muestreando, el teorema de muestreo se aplica absolutamente y debe muestrear al menos x2 la frecuencia más alta en su entrada (ya sea aumentando la frecuencia de muestreo o filtrando la entrada antes del muestreo o ambos) de lo contrario obtendrá alias.

Como Kyle señala, el otro factor es el ancho de banda de control deseado. Estoy de acuerdo con la regla general de que el ciclo debe correr al menos ~ x10 esa frecuencia.

Ambas condiciones deben cumplirse.

Hay una discusión bastante buena sobre esto en el Capítulo 6: Muestreo en sistemas de control de circuito cerrado de la disertación de Marten Derk van der Laan (1995) Técnicas de muestreo de señales para la adquisición de datos en el control de procesos :

La selección de las tasas de muestreo es un tema importante. Por razones económicas, las tasas de muestreo se mantienen lo más bajas posible: una tasa más baja significa que hay más tiempo disponible para la ejecución del algoritmo de control, lo que puede llevarse a cabo en computadoras más lentas. La digitalización de sistemas de control analógico con buen comportamiento puede afectar en gran medida la respuesta del sistema. Si las frecuencias de muestreo son demasiado bajas, los sistemas pueden incluso volverse inestables. Según el criterio de Nyquist, la frecuencia de muestreo debe ser al menos dos veces mayor que el ancho de banda de la señal de error. Este ancho de banda está limitado por el ancho de banda del sistema, por lo tanto, ws 2wB. Sin embargo, para garantizar una respuesta satisfactoria, se puede requerir un factor de 10 a 20

— Guy Sirton
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Es muy peligroso comenzar a apelar al teorema de Nyquist en un sistema de control de tiempo muestreado. Uno termina con todo tipo de rarezas, de las cuales, entre las cuales (y definitivamente indeseables en la mayoría de las circunstancias) se encuentran los filtros anti-alias dentro del bucle de control. Ese documento citado está utilizando un enfoque antiguo para el diseño de bucle de control digital más adecuado para el personal que necesita pasar un tiempo acostumbrándose a la transformación z y al diseño directo en el tiempo de muestreo. wescottdesign.com/articles/Sampling/sampling.pdf

— TimWescott

@TimWescott: Tu artículo se ve muy interesante. Lo leeré con más detalle. Estoy de acuerdo en que las personas aplican mal el teorema al mundo real de varias maneras (y no solo en una configuración de control). Sin embargo, cada vez que muestreas el teorema se aplica. Estoy totalmente de acuerdo con lo que dices en tu último párrafo de la sección "Finalmente". Intuitivamente, el controlador nunca puede ser mejor que la señal de error muestreada, por lo que puede probar que si tiene aliasing, ningún controlador puede eliminar ese error.

— Guy Sirton