¿Cómo puedo calcular el producto interno de dos registros cuánticos de diferentes tamaños?

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Encontré un algoritmo que puede calcular la distancia de dos estados cuánticos. Se basa en una subrutina conocida como prueba de intercambio (un estimador de fidelidad o producto interno de dos estados, por cierto, no entiendo lo que significa fidelidad).

Mi pregunta es sobre el producto interno. ¿Cómo puedo calcular el producto interno de dos registros cuánticos que contiene un número diferente de qubits?

La descripción del algoritmo se encuentra en este documento . Basado en el tercer paso que aparece en la imagen, quiero demostrarlo dando un ejemplo.

Dejar: $|a| = 5$ , y Todo lo que queremos es la fidelidad de los siguientes dos estados y y calcular la distancia entre y se proporciona como: so $|b| = 5$ $Z = 50$

| a ⟩ = \frac{3}{5} | 0 ⟩ + \frac{4}{5} | 1 ⟩

$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$

| b ⟩ = \frac{4}{5} | 0 ⟩ + \frac{3}{5} | 1 ⟩

$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

| a ⟩

$|a\rangle$

| b ⟩

$|b\rangle$

{| a - b |}^{2} = 2 Z | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}

${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$

| ψ ⟩ = \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 00 ⟩ + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 01 ⟩ + + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 10 ⟩ + + \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 11 ⟩

$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$

| ϕ ⟩ = \frac{5}{\sqrt{50}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$ entonces ¿cómo calcular

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ? ?

$\langle\phi|\psi\rangle = ??$

— Un hombre
fuente

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En pocas palabras, no puedes. El producto interno se define para 2 vectores del mismo espacio (es decir, 2 vectores de la misma dimensión) mientras que sus vectores (o estados cuánticos) no tienen el mismo tamaño.

— Nelimee

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¿Supongo que estás mirando las ecuaciones (130) y (131)? Entonces, aquí, tienes y . Cuando dice calcular , lo que realmente significa es rellenando todo con matrices de identidad para hacerlos todos mismo tamaño. Por lo tanto, el cálculo se convierte en donde y son los elementos de su vector $|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$ $|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$ $\langle\phi|\psi\rangle$

(⟨ ϕ | \otimes I) | ψ ⟩,

$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (\begin{array}{cccc} | a | & 0 & | b | & 0 \\ 0 & | a | & 0 & | b | \end{array}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

| a ⟩

$|a\rangle$ . Si logra esto, obtendrá No tengo idea de dónde proviene el signo negativo en la ecuación (133).

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ + | b | | b ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$

— DaftWullie
fuente

una vez más señor, ¿qué quiere decir rellenar cada cosa? ¿Cómo puedo interpretar esto en forma de circuito cuántico?

— Aman

@Aman Quiero decir que cuando dos operadores (o estados, en este caso) se definen para diferentes conjuntos de qubits, entonces la forma en que los hace del mismo tamaño es que inserta un producto tensor con la matriz de identidad 2x2 para cada qubit que es No en el conjunto dado.

— DaftWullie

@Aman: solo puedes intercambiar registros de qubit. Lo que sucede es que intercambias el primer registro con el primer qubit del segundo registro. Esto deja la pregunta de qué hacer con el qubit restante del segundo registro. Se aplica la operación de identidad, que explica de dónde proviene la identidad anterior.

— Peter Shor

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En realidad, debería haber un signo menos. Hay un error en el papel. Wittek usa un signo menos en su libro (caro) .

El | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (El | 0 0, una ⟩ + El | 1, si ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

El | ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{Z}} (El | una El | El | 0 0 ⟩ - El | si El | El | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$

⟨ ϕ El | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (El | una El | ⟨ 0 0 El | - El | si El | ⟨ 1 El |) (El | 0 0, una ⟩ + El | 1, si ⟩)

$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (El | una El | ⟨ 0 0 El | 0 0 ⟩ El | una ⟩ - El | si El | ⟨ 1 El | 0 0 ⟩ El | una ⟩ + El | una El | ⟨ 0 0 El | 1 ⟩ El | si ⟩ - El | si El | ⟨ 1 El | 1 ⟩ El | si ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - 0 + 0 - | b | | b ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - | b | | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$

$|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$

— canadá
fuente

Gracias señor, pero en | ψ⟩ ¿tenemos 3 qubits o 2 qubits?

— Aman

Tiene el número de qubits necesarios para a y b (digamos N) y agrega otro para N + 1.

— Canadá