Algoritmo Cuántico para el Número de Dios

El número de Dios es el peor caso del algoritmo de Dios que es

Una noción que se origina en las discusiones sobre formas de resolver el rompecabezas del cubo de Rubik, pero que también se puede aplicar a otros rompecabezas combinatorios y juegos matemáticos. Se refiere a cualquier algoritmo que produzca una solución que tenga la menor cantidad de movimientos posibles, la idea es que un ser omnisciente conozca un paso óptimo de cualquier configuración dada.

Calcular el número de Dios en 20 tomó "35 años de CPU de tiempo inactivo (clásico) en la computadora".

¿Qué tipo de aceleración podría lograrse con un enfoque cuántico?

Podemos pensar en el gráfico Cayley del cubo de Rubik con cada borde (de color) como uno de los movimientos de Singmaster y cada vértice es una de las configuraciones diferentes de los cubos.E ⟨ U , U 2 , U 3 = T - 1 , D , D 2 , D 3 , ⋯ ⟩ V 43252003274489856000 ≈ 4,3 e 19 3 × 3 × $\Gamma=(V,E)$$E$$\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$$V$$43252003274489856000\approx 4.3e{19}$$3\times 3\times 3$

El diámetro de un gráfico es la ruta más corta más larga del gráfico. Algoritmo clásico para determinar el diámetro es polinomial en ; ver, por ejemplo, esta respuesta de un sitio hermano.$\vert V \vert$

Como se mencionó anteriormente, el número de Dios está (relacionado con) este diámetro; Para conocer el camino más corto más largo entre los vértices para un gráfico de Cayley en un grupo, es suficiente saber a cuántos pasos del estado resuelto se encuentra uno. Sabemos, gracias a Rokicki, Kociemba, Davidson y Dethridge, entre otros, que el número de Dios es . Los algoritmos que ejecutaron fueron polinomiales en , por ejemplo, polinomios en .| V | 4.3 e $20$$\vert V\vert$$4.3e{19}$

El algoritmo cuántico de Heiligman para el diámetro del gráfico, mencionado en los comentarios, logra una aceleración de Grover sobre los algoritmos de Djikstra, con "un costo cuántico total de ". Sin embargo, creo que Heiligman codifica el gráfico como lo haría un algoritmo clásico; por ejemplo, con qubits . Claramente si entonces esto no ayudaría.O ( | V | ) | V | = 4.3 e $O(|V|^{9/4})$$O(|V|)$$|V|=4.3e{19}$

En cambio, otra forma de codificar un cubo de Rubik, como se insinuó en las otras preguntas, es, por supuesto, preparar una superposición uniforme en todos los . Esto solo toma qubits. log 4.3 e $4.3e{19}$$\log 4.3e{19}$

Los algoritmos cuánticos son buenos para hablar de "valores propios" y "vectores propios" y "estados propios". La aplicación de todos los movimientos de Singmaster a una superposición uniforme de todos los no cambia el estado; es decir, la superposición uniforme es un estado propio de la cadena de Markov en el gráfico de Cayley.$4.3e{19}$

Existen relaciones entre el diámetro de un gráfico y los valores propios / vectores propios de la matriz adyacente / laplaciana correspondiente, especialmente el espacio espectral, la distancia entre los dos valores propios más grandes ( ). Una búsqueda rápida en Google del "valor propio del diámetro" produce esto ; Recomiendo explorar búsquedas similares en Google.$\lambda_1-\lambda_2$

Las brechas espectrales son exactamente lo que limita el algoritmo adiabático . Por lo tanto, tal vez al saber qué tan rápido necesita correr un algoritmo adiabático para evolucionar desde el superpositorio uniforme al estado resuelto para varios subgrupos / subespacios del grupo de cubos de Rubik, uno podría estimar la brecha espectral y usar esto para vincular el número de Dios. Pero estoy rápidamente fuera de mi alcance aquí y dudo que se pueda lograr una sensación de precisión.