Ventaja de simular hamiltonianos dispersos

En la respuesta de @ DaftWullie a esta pregunta , mostró cómo representar en términos de puertas cuánticas la matriz utilizada como ejemplo en este artículo . Sin embargo, creo que es poco probable que tenga matrices tan bien estructuradas en ejemplos de la vida real, por lo tanto, estaba tratando de ver otros métodos para simular un hamiltoniano. He encontrado en varios artículos una referencia a este de Aharonov y Ta-Shma en la que, entre otras cosas, afirman que es posible tener alguna ventaja en la simulación de hamiltonianos escasos . Sin embargo, después de leer el artículo, no he entendido cómo podría realizarse la simulación de hamiltonianos dispersos. El problema generalmente se presenta como un gráfico de color, sin embargo, también se observa la presentación. que @Nelimee sugirió leer para estudiar la exponenciación de matrices, todo esto se reduce a través de la fórmula del producto.

Para hacer un ejemplo, tomemos una matriz aleatoria como:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ esto no es hermitiano, pero utilizando la sugerencia de Harrow, Hassidim y Lloyd podemos construir una matriz hermitiana a partir de ella:

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Ahora que tengo una matriz hermitiana de 8x8, 2-escasa:

¿Puedo simular su evolución de otra manera que no sea el método de fórmula del producto?
Incluso si uso la fórmula del producto, ¿cómo exploto el hecho de que es escasa? ¿Es solo porque hay menos entradas distintas de cero y, por lo tanto, debería ser más fácil encontrar el producto de las puertas básicas?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
fuente

La idea que sugiere que las matrices dispersas son útiles va en la línea de: para cualquier , podemos descomponerlo en términos de un conjunto de cuyos componentes individuales conmutan (haciendo que la diagonalización sea sencilla), Si la matriz es escasa, entonces no debería necesitar demasiados distintos . Entonces puedes simular la evolución hamiltoniana $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

donde

. Por ejemplo, en su caso, puede tener

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(los 3 términos correspondientes al hecho de que es un Hamiltoniano 3 escaso). Creo que hay una estrategia aquí: revisa todos los elementos de matriz distintos de cero de su Hamiltoniano y los agrupa para que si escribo sus coordenadas como

(y siempre incluyo su complejo par conjugado), sigo agregando otros elementos de mi conjunto

siempre que ni

iguales a

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ o

.. Esto significaría para un

opción -sparse de Hamilton, que tienen

diferente

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

El problema es que esto no necesariamente funciona de manera directa en la práctica. Por un lado, todavía hay exponencialmente muchos elementos de matriz por los que tiene que pasar, pero ese siempre será el caso con la forma en que lo configura.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
fuente

Solo 2 cosas que no entendí: 1) ¿qué quieres decir cuando dices que siempre incluyes los complejos pares conjugados? 2) ¿El conocimiento de la posición provista por el oráculo debería ayudarnos de qué manera? ¿Al ayudarnos a determinar el conjunto de unitarios que representan al hamiltoniano descompuesto?

— FSic

@F.Siciliano (2) El conocimiento del oráculo ayuda porque te permite trabajar solo a través de los elementos distintos de cero de la matriz en lugar de tener que pasar por cada elemento de la matriz para descubrir cuáles son distintos de cero.

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$