Implementación práctica de Hamiltonian Evolution

Después de esta pregunta , traté de mirar el artículo citado para simular y resolver el mismo problema ... sin éxito. Principalmente, todavía no entiendo cómo los autores lograron simular la evolución hamiltoniana a través del circuito que se muestra en la parte inferior de la Fig.4. Incluso exponiendo clásicamente la matriz, no obtengo valores de las puertas que se muestran en el circuito de Quirk que @Blue vincula a lo largo de su pregunta.

Traté de ver el documento en el que se explica el algoritmo de optimización de líder de grupo, pero todavía tengo problemas para comprender cómo asignan los ángulos de rotación a las diferentes puertas.

— FSic
fuente

¡Buena pregunta! Algunos de esos valores de ángulo de rotación son definitivamente incorrectos. @Nelimee los probó en su programa . Echa un vistazo a optim_hamil.py. Una forma práctica de obtener los valores / coeficientes de ángulo de rotación correctos es utilizar algún tipo de algoritmo de optimización multivariante. Nelimee usó el scipy.optimizemódulo para ese propósito. Sin embargo, me gustaría entender personalmente el Algoritmo de optimización de líder de grupo también. El artículo: arxiv.org/abs/1004.2242 es demasiado vago.

— Sanchayan Dutta

El punto es que, por lo que entendí, están usando algoritmos genéticos para encontrar la configuración óptima para representar una subrutina cuántica dada, lo que ya me parece extraño sinceramente.

— FSic

Puede recuperar las matrices exponenciales con este script . Y entendiste correctamente, usan un algoritmo genético (que es una especie de algoritmo de optimización) para encontrar una buena descomposición de puerta (y no la óptima ) que implemente una matriz unitaria que esté cerca de la que queremos.

— Nelimee

Gracias por el guion! Sin embargo, con esto obtienes directamente los valores de la matriz exponencial, que se pueden implementar directamente en Quirk, estaba tratando de entender cómo logran simular dicha matriz con las puertas que proporcionaron en la figura, porque también intenté calcular el circuito para ver la matriz final, pero termino teniendo algo totalmente diferente. Sin embargo, no excluyo haber hecho algunos errores de cálculo.

— FSic

No sé por qué / cómo los autores de ese artículo hacen lo que hacen. Sin embargo, así es como lo haría para este caso especial (y es un caso muy especial):

Puede escribir el Hamiltoniano como una descomposición de Pauli Actualización: debería ser . Pero no quiero volver a dibujar todos mis diagramas, etc., así que dejaré el signo negativo.

A = 15 I \otimes I + 9 Z \otimes X + 5 X \otimes Z - 3 Y \otimes Y .

$A=15\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}+9Z\otimes X+5X\otimes Z-3Y\otimes Y.$

+ 3 Y \otimes Y

$+3Y\otimes Y$

Ahora, es interesante notar que cada uno de estos términos conmuta. Entonces, eso significa que Podría averiguar cómo simular cada uno de estos pasos individualmente, pero primero permítame hacer una observación adicional: estos términos de conmutación son los estabilizadores del estado del clúster de 2 qubits. Eso puede o no significar algo para usted, pero me dice que una cosa inteligente es aplicar una puerta de fase controlada.

e^{i A θ} = e^{15 i θ} e^{9 i θ Z \otimes X} e^{5 i θ X \otimes Z} e^{- 3 i θ Y \otimes Y} .

$e^{iA\theta}=e^{15i\theta}e^{9i\theta Z\otimes X}e^{5i\theta X\otimes Z}e^{-3i\theta Y\otimes Y}.$

C P \cdot A \cdot C P = 15 I \otimes I + 9 I \otimes X + 5 X \otimes I - 3 X \otimes X .

$CP\cdot A\cdot CP=15\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}+9\mathbb{I}\otimes X+5X\otimes \mathbb{I}-3X\otimes X.$ (Es posible que desee verificar el signo del último término. No lo calculé cuidadosamente.) Entonces, si comenzamos y terminamos nuestra secuencia con compuertas de fase controlada, entonces 2 de los términos son fáciles de entender: rotamos el primer qubit sobre el eje en un ángulo de , y el segundo qubit sobre el eje en un ángulo de .

x

$x$

5 θ

$5\theta$

x

$x$

9 θ

$9\theta$

Lo único que nos queda por hacer bien es la rotaciónSi piensa en la estructura de , esto es como una rotación en los estados base , y otra en . Un no controlado convierte estas bases en las bases de un solo qubit controladas fuera del qubit objetivo. Pero dado que ambos implementan la misma rotación controlada pero con valores opuestos controlados, simplemente podemos eliminar el control. Por lo tanto, el circuito general es: Esto se simplifica ligeramente al combinar las dos puertas controladas al final: $X\otimes X$ $e^{-3i\theta X\otimes X}$ $x$ $\{|00\rangle,|11\rangle\}$ $\{|01\rangle,|10\rangle\}$ Tenga en cuenta que no he incluido el término de fase global aquí porque esa no es la forma sensata de hacerlo. Cuando realiza control- ( ), aplica la "fase global" como una rotación en el qubit de control. $e^{iA\theta}$ $z$

— DaftWullie
fuente

Hola, ¿conoces algún libro de texto o algún documento que discuta el algoritmo general para descomponer el Hamiltoniano en puertas de Pauli? Solo encontré este sitio web , pero no explica la lógica detrás de la descomposición ni el algoritmo general para matrices más grandes (si existe).

— Sanchayan Dutta

@Blue El método más simple se basa en una descomposición Trotter-Suzuki. Esas palabras clave deberían proporcionar una búsqueda fructífera. Sin embargo, hay algoritmos más nuevos y mucho más eficientes. Tendré que buscar una referencia ...

— DaftWullie

@Blue Aquí hay una charla que ofrece una introducción justa + descripción general y contiene enlaces a algunos de los documentos relevantes: bristol.ac.uk/media-library/sites/maths/events/2015/…

— DaftWullie

Estaba un poco confundido por la segunda descomposición de Pauli y formulé una pregunta al respecto aquí . Si tienes tiempo, ¡por favor considera responderlo!

— Sanchayan Dutta