Estimación de fase cuántica y algoritmo HHL: ¿se requiere conocimiento de los valores propios?

El algoritmo de estimación de fase cuántica (QPE) calcula una aproximación de valor propio asociado a un vector propio dado de una puerta cuántica . $U$

Formalmente, dejemos que sea un vector propio de , QPE nos permite encontrar , la mejor aproximación de bits de tal que y $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

El algoritmo HHL ( artículo original ) toma como entrada una matriz que satisface y un estado cuántico y calcula que codifica la solución del sistema lineal . $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

Observación : Cada matriz hermitiana statisfy la condición en . $A$

Para hacerlo, el algoritmo HHL usa el QPE en la puerta cuántica representada por . Gracias a los resultados de álgebra lineal, sabemos que si son los valores propios de continuación, son los valores propios de . Este resultado también se indica en los algoritmos de sistemas lineales cuánticos: un cebador (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (página 29, entre las ecuaciones 68 y 69). $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

Con la ayuda de QPE, el primer paso del algoritmo HLL intentará estimar modo que . Esto nos lleva a la ecuación es decir Analizando un poco las implicaciones de las condiciones y , terminé con la conclusión de que si (es decir, ), el algoritmo de estimación de fase no funciona predecir el valor propio correcto. $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

Pero como puede ser cualquier matriz hermitiana, podemos elegir libremente sus valores propios y particularmente podríamos elegir valores propios arbitrariamente grandes para modo que el QPE falle ( ). $A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

En Diseño de circuitos cuánticos para resolver sistemas lineales de ecuaciones (Cao, Daskin, Frankel y Kais, 2012) resuelven este problema simulando , sabiendo que los valores propios de son . Se normalizaron la matriz (y sus valores propios) para evitar el caso en que . $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Por otro lado, parece que el parámetro podría usarse para hacer esta normalización. $t$

Pregunta: ¿ Necesitamos conocer un límite superior de los valores propios de para normalizar la matriz y asegurarnos de que la parte QPE del algoritmo HHL tenga éxito? Si no, ¿cómo podemos asegurarnos de que el QPE tenga éxito (es decir, )? $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nelimee
fuente

Digamos . ¿Estás diciendo que lambda nunca puede ser negativa? ¿Qué hay de malo en tener un valor propio negativo? Digamos y . Entonces: , y . Un valor completamente válido para . ¿Qué hay de malo con eso? ¿Por qué tiene que ser positivo o ? Los valores propios pueden ser negativos.

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

— usuario1271772

@ user1271772 En este caso no, nunca puede ser negativo porque el QPE impone que . Si (porque conectó una matriz con un valor propio negativo, esto es posible, por supuesto), entonces la salida del QPE no representará sino más bien con , es decir, " modulo ", y esto hará que falle el algoritmo HHL.

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

— Nelimee

Debe conocer un límite en los valores propios (tanto superiores como inferiores). Como dices, puedes normalizar volviendo a escalar . De hecho, debe hacer esto para obtener la estimación más precisa posible, distribuyendo los valores en el rango completo de . Limitar los valores propios no suele ser un problema. Por ejemplo, probablemente requiera que su matriz sea escasa, de modo que no haya demasiados elementos de matriz distintos de cero en cada fila. De hecho, la especificación problema probablemente le da un salto en el número de no-cero entradas por fila, y el valor máximo de cualquier entrada . $A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

Entonces podrías aplicar algo como el teorema del círculo de Gershgorin. Esto indica que el valor propio máximo está limitado por y el mínimo está limitado por El son los elementos de matriz de .

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

Dentro de los valores de , , si le preocupa que para una matriz grande (digamos qubits), mientras que la suma de filas puede ser fácil de calcular (porque no hay muchas entradas), el máximo sobre todas las filas puede tomar mucho tiempo tiempo (porque hay filas), habrá una variedad de formas de obtener buenas aproximaciones (por ejemplo, muestreo o uso del conocimiento de la estructura del problema). En el peor de los casos, probablemente pueda usar la búsqueda de Grover para acelerar un poco. $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
fuente

Grover no es una mejora: incluso si podemos usar el algoritmo, seguiremos necesitando consultas , que destruyen la mejora exponencial de HHL sobre los métodos clásicos y la reemplazan con una aceleración cuadrática. Entonces, la única esperanza que queda es muestrear (introducir otra fuente de errores) o rezar y esperar que el problema nos permita estimar los límites superior / inferior. Me parece una falla importante del algoritmo.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

Claro, solo quería decir que Grover te da una aceleración de raíz cuadrada en comparación con la forma ingenua de obtener el máximo. Por supuesto, eso tiene un impacto negativo en el tiempo de ejecución general.

— DaftWullie