¿La equivalencia local de Clifford tiene una representación gráfica directa para los estados del gráfico qudit de dimensión no prima?

Esta pregunta es un seguimiento de la pregunta anterior de QCSE: " ¿Están bien definidos los estados del gráfico qudit para la dimensión no principal? ". De la respuesta de la pregunta, parece que no hay nada de malo en definir estados de gráficos usando qudits $d$ -dimensionales, sin embargo, parece que otros aspectos definitorios de los estados de gráficos no se extienden de manera similar a la dimensión no prima.

Específicamente, para los estados de gráficos qubit, un aspecto clave de su prevalencia y uso es el hecho de que: dos estados de gráficos son equivalentes locales a Clifford si y solo si hay alguna secuencia de complementaciones locales que lleva un gráfico al otro (por simple, gráficos no dirigidos). No hace falta decir que esta es una herramienta increíblemente útil en análisis de corrección de errores cuánticos, enredos y arquitecturas de red.

Al considerar los estados del gráfico -qudit, el gráfico equivalente ahora se pondera con la matriz de adyacencia , donde es el peso del borde (con indicando que no existe un borde ) En el caso qudit, se demostró que la equivalencia LC puede extenderse de manera similar mediante la generalización de la complementación local ( ) y la inclusión de una operación de multiplicación de bordes ( $n$ $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ $A_{ij}$ $(i,j)$ $A_{ij}=0$ $\ast_a v$ $\circ_b v$ ), donde: dondey toda la aritmética se realiza módulo.

\begin{aligned} *_{una} v & : {UNA}_{yo j} \mapsto {UNA}_{yo j} + una {UNA}_{v yo} {UNA}_{v j} \forall yo, j \in {norte}_{sol} (v), yo \neq j \\ \circ_{si} v & : {UNA}_{v yo} \mapsto si {UNA}_{v yo} \forall yo \in {norte}_{sol} (v), \end{aligned}

$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$

a, b = 1, \dots, d - 1

$a, b = 1, \ldots, d-1$

p

$p$

Gráficamente, esto está representado por las siguientes operaciones (reproducidas de la Ref. 2 ):

Sin embargo, si el estado del gráfico se define en qudits de dimensión no prima, entonces podemos ver que estas operaciones (parecen) no representan la equivalencia LC.

$|G\rangle$ $G$ $d=4$ $x=y=z=2$ $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$ $\circ_2 1$ $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$ $1$

Mi pregunta es: ¿hay algún conjunto de operaciones gráficas que representen correctamente la equivalencia local de Clifford para los estados de gráficos qudit de dimensión no prima?

Nota: Me interesan principalmente las operaciones que se aplican directamente a la representación de un estado como un solo gráfico ponderado, en lugar de posibles descomposiciones en múltiples estados de gráficos primarios dimensionales, como se sugiere en la Sec. 4.3 de " Estados del gráfico de Qudit absolutamente enredados al máximo ".

entanglement qudit graph-states

— SLesslyTall
fuente

Desde que creó los nuevos estados de gráficos de etiquetas , ¿podría escribir el wiki de etiquetas para ello? Ir aquí . Gracias.

— Sanchayan Dutta

$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ $x^2 = x + 1$ $a$ $\bar{a} = a^2$

Las tablas de suma, multiplicación y conjugación son las siguientes:

En esta foto tenemos $0 \equiv 0$ $1 \equiv 1$ $2 \equiv x$ $3 \equiv x^2$ $2 \times 2 = 3$

— SLesslyTall
fuente

F = G F (4)

$\mathbb F = GF(4)$

2 := 1_{F} + 1_{F} = 0_{F} =: 0

$2 := 1_{\mathbb F} + 1_{\mathbb F} = 0_{\mathbb F} =: 0$

2 \times 2 = 0

$2\times 2 = 0$

— Niel de Beaudrap

He agregado una edición aclaratoria :)

— SLesslyTall