¿Es log (n!) = Θ (n · log (n))?

Debo mostrar que log ( n !) = Θ ( n · log ( n )) .

Se dio una pista de que debería mostrar el límite superior con n ⁿ y mostrar el límite inferior con ( n / 2) ^{( n / 2)} . Esto no me parece tan intuitivo. ¿Por qué sería ese el caso? Definitivamente puedo ver cómo convertir n ⁿ en n · log ( n ) (es decir, registrar ambos lados de una ecuación), pero eso es un poco trabajar hacia atrás.

¿Cuál sería el enfoque correcto para abordar este problema? ¿Debo dibujar el árbol de recursión? No hay nada recursivo sobre esto, por lo que no parece un enfoque probable.

Recuerda eso

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

Puedes obtener el límite superior por

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

Y puede obtener el límite inferior haciendo algo similar después de tirar la primera mitad de la suma:

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

Me doy cuenta de que esta es una pregunta muy antigua con una respuesta aceptada, pero ninguna de estas respuestas realmente utiliza el enfoque sugerido por la sugerencia.

Es un argumento bastante simple:

n!(= 1 * 2 * 3 * ... * n) es un producto de nnúmeros cada uno menor o igual a n. Por lo tanto, es menor que el producto de nnúmeros todos iguales a n; es decir, n^n.

La mitad de los números, es decir, n/2de ellos, en el n!producto son mayores o iguales que n/2. Por lo tanto, su producto es mayor que el producto de n/2números todos iguales a n/2; es decir (n/2)^(n/2).

Lleve registros para establecer el resultado.

Lo siento, no sé cómo usar la sintaxis de LaTeX en stackoverflow.

Ver la aproximación de Stirling :

ln (n!) = n * ln (n) - n + O (ln (n))

donde los últimos 2 términos son menos significativos que el primero.

Para el límite inferior,

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg (n!)> = (1/2) (n lg n - 1)

Combinando ambos límites:

1/2 (n lg n - 1) <= lg (n!) <= N lg n

Al elegir la constante de límite inferior mayor que (1/2) podemos compensar -1 dentro del paréntesis.

Así lg (n!) = Theta (n lg n)

Ayudándote más allá, donde te dejó Mick Sharpe:

Su derivación es bastante simple: ver http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm -> Group Theory

log (n!) = log (n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1) = log (n) + log (n-1) + ... + log (2 ) + log (1)

Piense en n como infinitamente grande . ¿Qué es infinito menos uno? o menos dos? etc.

log (inf) + log (inf) + log (inf) + ... = inf * log (inf)

Y luego piensa en inf como n.

Gracias, encontré sus respuestas convincentes, pero en mi caso, debo usar las propiedades Θ :

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

para verificar el problema encontré esta web, donde tienes todo el proceso explicado: http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

Esto podría ayudar:

e ln (x) = x

y

(l m ) n = l m * n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation La aproximación de Stirling podría ayudarlo. Es realmente útil para tratar problemas en factoriales relacionados con grandes cantidades del orden de 10 ^ 10 y superiores.