TIFF es más ampliamente compatible. Muchos programas no tratan con PSD porque el formato es muy complicado. TIFF, por otro lado, es como un formato de imagen "estándar" junto con JPEG y PNG.
Tanto TIFF como PSD pueden preservar la información de las capas. Ambos pueden manejar imágenes de 16 y 32 bits. Sin embargo, el PSD puede contener mucho más que eso. Como es el formato nativo de Photoshop, puede tener muchos metadatos de edición de fotos, como estilos de capa, carpetas de capas, instantáneas, canales personalizados e incluso historias de edición (aunque las historias pueden hacer que el archivo sea realmente grande).
Personalmente, solo guardaré TIFF, porque no es probable que tenga, digamos, cien capas y una estructura de capas compleja. Pero si estoy diseñando, probablemente quiera tener tantos metadatos como quiera, y también toneladas de estilos de capa, lo que no me deja más remedio que PSD.
EDITAR: según @Conor Boyd y @ysap, etc., TIFF puede contener tanta información como PSD. Así que ve con TIFF. Sin embargo, tenga en cuenta que TIFF es un formato de imagen de propósito general no significa que cada visor de imágenes pueda leer toda la información almacenada en cualquier imagen TIFF. Un lector TIFF "de referencia", por ejemplo, solo puede representar la primera capa en la imagen. Este comportamiento está permitido por el estándar TIFF .