Sé que esta pregunta es un poco vieja, pero Android ha cambiado algunas en los últimos 3 años, así que creo que vale la pena publicar esta respuesta.
A partir de Android 4.4, hay grabación de pantalla nativa. Puede usar ADB desde una computadora a la que está conectado el teléfono o hay al menos una docena de aplicaciones para ayudarlo a hacerlo (algunas con root, otras sin).
Sin root , podrás grabar la pantalla. No creo que puedas obtener CUALQUIERA de audio de tu teléfono si no tienes root. Sin embargo, he descubierto que un cable de 3,5 mm a 3,5 mm puede conectar la toma de auriculares de mi teléfono a la toma de micrófono de mi computadora portátil y Audacity puede grabar el audio perfectamente. Mi aplicación favorita para la grabación de pantalla es Lollipop Screen Recorder (y lo he probado hasta Marshmallow, funciona muy bien). Aquí hay un video producido con esta configuración exacta y cómo se ve / suena. Soy un youtuber asqueroso, pero espero que esto sea una victoria para la configuración.
Con root , debería poder encontrar una aplicación que pueda grabar la pantalla y cualquier audio producido por su dispositivo sin cables ni computadoras adicionales. Tengo menos experiencia con estas aplicaciones, así que no puedo hacer una buena recomendación, aunque creo que Shou.tv debería poder hacerlo. Shou.tv también puede transmitir si eso es algo que quieres hacer.
No soy desarrollador de ninguna aplicación o juego mencionado o vinculado. Además, para el registro, todo este software es gratuito. Un cable de 8 pies para su conexión de auriculares / micrófono puede costar $ 12, pero es realmente útil tener a mano para algo más que esta tarea.