¿Cómo puedo calcular el nivel actual del XP total, cuando cada nivel requiere proporcionalmente más XP?

En mi juego, el XP necesario para alcanzar el siguiente nivel es Nivel actual × Umbral de nivel . Teniendo en cuenta eso, ¿cómo puedo obtener mi nivel actual del XP total obtenido?

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Por ejemplo:

Level Threshold = 50
Current Level = 1

Comenzando en el nivel 1, necesitaría (1 × 50) = 50 XP para llegar al nivel 2, y así sucesivamente.

Level 1: 50 XP needed to reach level 2
Level 2: 100 more XP needed to reach level 3
Level 3: 150 more XP needed to reach level 4

En otras palabras, la tabla de progresión es la siguiente:

Level 1: 0 XP to 49 XP
Level 2: 50 XP to 149 XP 
Level 3: 150 XP to 299 XP
Level 4: 300 XP to 499 XP

Si tengo 300 XP, llegaré al nivel 4. ¿Cómo puedo calcular eso en general?

Al resolver las matemáticas y resolver la Levelcondición condicional de la experiencia XP, obtenemos:

$$Level = \frac{1 + \sqrt{1 + 8 \times XP \div 50}}{2}$$

Por ejemplo, ¿cuál es el nivel del jugador para ?$XP = 300$

$$\frac{1 + \sqrt{1 + 8 \times 300 \div 50}}{2} = 4$$

De acuerdo a lo pedido.

¿O para qué es el nivel XP = 100000?

$$\frac{1 + \sqrt{1 + 8 \times 100000 \div 50}}{2} = 63$$

En términos más generales, para un umbral de inicio arbitrario en el Nivel 1:

$$Level = \frac{1 + \sqrt{1 + 8 \times threshold \div 50}}{2}$$

También puede hacer lo contrario y calcular lo XPnecesario para cualquier nivel dado resolviendo la fórmula anterior para XP.

$$XP = \frac{(Level^2-Level) \times threshold}{2}$$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior funciona con fracciones, pero debe redondear al siguiente valor entero. Por ejemplo, en C ++ / C # podría usar (int) Level.

Para obtener la fórmula de forma cerrada anterior, utilicé ecuaciones de diferencia, suma de Gauss y una fórmula cuadrática.

Si está interesado en la solución de esta fórmula paso a paso ...

Hacemos un algoritmo recursivo comenzando nuestras consideraciones que finalmente Experience(next_level) = Experience(current_level) + current_level*50.

Por ejemplo, para obtener tenemos:$XP_{Level3}$

$$XP_{Level3} = XP_{Level2} + 2 \times 50$$

Donde, 2*50proviene de la solicitud del OP que la experiencia necesaria para alcanzar el siguiente nivel es el nivel actual * 50.

Ahora, sustituimos con la misma lógica en la fórmula. Es decir:$Xp_{Level2}$

Sustituya en la fórmula anterior:$XP_{Level2} = XP_{Level1} + 2 \times 50$

$$Xp_{Level3} = Xp_{Level1} + 1 \times 50 + 2 \times 50$$

y es solo 50, que es nuestro punto de partida. Por lo tanto$Xp_{Level1}$

$$Xp_{Level3} = 50 + 2 \times 50 = 150$$

Podemos reconocer un patrón para calcular recursivamente niveles más altos y una cadena finita de sumatorias.

$$Xp_{LevelN} = 50 + 2 \times 50 + 3 \times 50 + ... + (N-1) \times 50 = \sum_{i=0}^{n-1} i \times 50$$

Donde N es el nivel a alcanzar. Para obtener el XP para el nivel N, necesitamos resolver para N.

$$Xp_{LevelN} \div 50 = \sum_{i=0}^{n-1} i$$

$N \times (N+1)\div2-N$

$$Xp_{LevelN} \div 50 = N(N+1) \div 2-N$$

o solo

$$2*(Xp_{LevelN} - 50) \div 50 = N(N+1)-2N$$

Finalmente, poniendo todo de un lado:

$$0 = N^2-N-2 \times Xp_{LevelN} \div 50$$

Esta es ahora una fórmula cuadrática que produce una solución negativa y positiva, de la cual solo lo positivo es relevante ya que no hay niveles negativos. Ahora obtenemos:

$$N = \frac{1 + \sqrt{\frac{1+4 \times 2 \times Xp_{LevelN}}{50}}}{2}$$

El nivel actual condicional en XP y umbral lineal es por lo tanto:

$$Level = \frac{1 + \sqrt{1+8\times XP \div threshold}}{2}$$

$Level = \frac{\sqrt{XP}}{5.0}$XPLevel 100

Editar : esta fórmula funciona completamente como debería y genera correctamente el levelcondicional actual XP con una progresión de umbral lineal según lo solicitado por el OP. (La fórmula anterior arrojó "nivel + 1" al suponer que el jugador comenzó desde el Nivel 0, que era mi error: ¡lo había resuelto en mi hora de almuerzo escribiendo en un pañuelo! :)

La solución simple y genérica , si no necesita repetir este cálculo millones de veces por segundo (y si lo hace, probablemente esté haciendo algo mal), es usar un bucle:

expLeft = playerExp
level = 1
while level < levelCap and expLeft >= 0:
    expLeft = expLeft - expToAdvanceFrom(level)
    level = level + 1

if expLeft < 0: level = level - 1     # correct overshoot

La gran ventaja de este método, además de no requerir matemáticas complicadas, es que funciona para cualquier función arbitraria de exp-por-nivel. Si lo desea, incluso puede inventar valores de exp arbitrarios por nivel y almacenarlos en una tabla.

Si necesita (por alguna extraña razón) una solución aún más rápida, también puede calcular previamente la cantidad total de experiencia necesaria para alcanzar cada nivel, almacenar esto en una tabla y utilizar una búsqueda binaria para encontrar el nivel del jugador. La precalculación todavía lleva un tiempo proporcional al número total de niveles, pero la búsqueda solo requiere un tiempo proporcional al logaritmo del número de niveles.

La pregunta ha sido respondida con código, pero creo que debería responderse con matemáticas. Alguien puede querer entender en lugar de solo copiar y pegar.

$$\text{XP}_{\text{Level}+1} = \text{XP}_{\text{Level}} + \text{Level} \cdot \text{Threshold}$$

$\text{XP}$

$$\text{XP}_{\text{Level}} = \frac{(\text{Level}-1) \cdot \text{Level} \cdot \text{Threshold}}{2}$$

$\text{Level}$

$$\text{Level} = \left\lfloor \frac{\sqrt{\text{Threshold}^2 + 8 \cdot \text{XP} \cdot \text{Threshold}}}{2 \cdot \text{Threshold}}+\frac{1}{2} \right\rfloor$$

(truncar a entero, porque el jugador necesita todos los XP requeridos para obtener cualquiera de los bonos de nivel)

Aquí hay un enfoque para resolver el problema usando álgebra básica. Si no te importan los pasos, salta al final.

Una cosa fácil de lograr es, dado un nivel n, la experiencia total enecesaria para obtener ese nivel:

e = sum from k=1 to n of (t(k-1))

El ttérmino representa el aumento de XP necesario por nivel: 50, en el ejemplo.

Podemos resolver lo anterior usando la fórmula para secuencias aritméticas ( identidad de suma ):

e = t/2 * n(n-1)

Sin embargo, queremos la fórmula opuesta: el nivel del jugador dada su experiencia total. Lo que realmente queremos hacer es resolver el nivel n,. Primero, agrupemos los términos:

n^2 - n - 2e/t = 0

Ahora podemos usar la fórmula cuadrática:

n = (1 + sqrt(1+8e/t))/2

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Ecuación final:

level = 0.5 + sqrt(1 + 8*(total experience)/(threshold)) / 2

Es muy importante conocer todas las matemáticas involucradas aquí por todo tipo de razones, algunas de ellas aplicables al desarrollo de juegos.

PERO

Este es un sitio de desarrollo de juegos, no un sitio de matemáticas. Entonces, analicemos cómo funcionan estas cosas, no como series algorítmicas, sino como conjuntos , porque ese es el tipo de matemática que se aplica a la nivelación en juegos que realmente podría desarrollar para vender, y este es el sistema que subyace a la mayoría (pero no a todas) la nivelación sistemas (al menos históricamente).

Los jugadores tienden a preferir números agradables y redondos que son fáciles de recordar y visualizar, y en ninguna parte es esto más importante que en un sistema de juego basado en niveles donde el jugador necesita X cantidades de xp para avanzar al nivel Y.

Hay dos buenas razones para elegir números redondos:

• El nivel de experiencia en sí es un bonito número redondo "100; 200; 1,000,000; etc."
• El delta entre niveles tiende a ser otro buen número redondo que el jugador puede mirar y calcular en su cabeza.

Los números redondos son agradables. El propósito de los juegos es ser agradable. El placer es importante, especialmente porque los dilemas del juego a menudo serán cualquier cosa menos agradables por diseño.

¿Por qué es importante tener esto en cuenta?

La mayoría de los algoritmos de series compuestas no producen buenos números redondos.

La mayoría de las series no se detienen en un punto bonito (cada respuesta que he visto hasta ahora solo continúa para siempre). ¿Asi que que hacemos? Nos aproximamos y luego determinamos qué conjunto de niveles debe aplicarse al sistema de juego .

¿Cómo sabemos qué aproximaciones son apropiadas? Consideramos cuál es el punto de nivelación dentro del sistema de juego.

La mayoría de los juegos tienen límites de nivel que se activan en algún momento. Hay algunas maneras en que esto puede desarrollarse:

• El límite se encuentra relativamente temprano, donde el sistema de niveles solo existe para ayudar a los jugadores a superar la primera fase del juego de una manera enfocada para obligarlos a aprender el sistema completo del juego. Una vez que están "completamente desarrollados" comienza el juego largo.
• La ganancia de XP frente al nivel de dificultad tiene una cierta economía, donde sí, hay un límite de nivel, pero está tan lejos que esperamos que los jugadores completen el juego aproximadamente a la mitad de la tabla de nivelación. En los juegos de rol de estilo DQ / FF con múltiples personajes / clases, es más común que diferentes personajes / clases se nivelen más fácilmente al adquirir experiencia a diferentes velocidades que cambiar el XP requerido para cada nivel por clase de personaje . De esa forma, los jugadores pueden recordar fácilmente los lindos números redondos como objetivos universales, y saber que cada personaje avanza hacia ellos a un ritmo arbitrario establecido por el sistema de juego ( XP + (XP * Modifier)o lo que sea).
• Los límites de nivel se basan en la categoría de personaje externo. Es decir, algún factor fuera del sistema de juego propiamente dicho dicta el aspecto del sistema de niveles. Esto se está volviendo más común ya que muchos juegos son de pago para ganar pero gratuitos. Un jugador gratuito puede estar limitado a nivel 70, un suscriptor puede estar limitado a nivel 80, una compra única puede avanzar a alguien un nivel más allá de un límite universal, etc.
• Los límites de nivel son universales y están vinculados al mundo del juego de alguna manera. Este sistema ha sido popularizado por WoW.
• Cualquier otro sistema de límite de nivel que pueda imaginar que mejore el juego de una manera más inteligente que simplemente recompensar a los jugadores por perder más minutos de su vida en su mundo inventado que los otros jugadores.

No son unos sistemas de juego donde no hay límite de nivel y el sistema se determina mediante algoritmos. Por lo general, sistemas como este utilizan un sistema X-powers-of-Y para hacer que los números exploten rápidamente. Esto hace que sea muy fácil llegar al nivel L-1, se espera razonablemente que la mayoría de los jugadores lleguen al nivel L, excesivamente difícil llegar al nivel L + 1, y los jugadores envejecerán y morirán antes de llegar a L + 2. En este caso, "L" es un nivel que ha decidido que es el nivel objetivo apropiado para jugar y en el que normalmente habría limitado el sistema, pero dejaría la opción abierta para que las personas se engañen y piensen que es una buena idea XP para siempre. (Siniestro!) En este tipo de sistema, las matemáticas que se encuentran aquí tienen mucho sentido. Pero es un caso muy estrecho, y rara vez se encuentra en los juegos reales.

¿Asi que que hacemos?

Calcular los niveles y XP? No. ¿ Determinar los niveles y XP? Sí.

Usted determina qué significan los niveles y luego decide qué conjunto de niveles debería estar disponible. Esta decisión se reduce a la granularidad dentro del sistema de juego (¿Existe una gran diferencia en el poder entre los niveles? ¿Cada nivel confiere una nueva habilidad? Etc.) y si los niveles se usan o no como un sistema de activación ("No se puede ir a la siguiente ciudad hasta que tengas 10 años, niño ", o un sistema de escalera competitivo aplica niveles basados ​​en niveles, etc.).

El código para esto es bastante sencillo, y es solo determinación de rango:

level(XP) when XP < 100  -> 1;
level(XP) when XP < 200  -> 2;
level(XP) when XP < 500  -> 3;
level(XP) when XP < 1000 -> 4;
% ...more levels...
level(XP) when XP > 1000000 -> 70. % level cap

O con una declaración if, o un caso, o una cadena de if / elif, o cualquiera que sea el idioma en el que esté utilizando soportes (Esta parte es el elemento menos interesante de cualquier sistema de juego, solo proporciono dos formas porque sucede que esté en modo Erlang en este momento, y la sintaxis anterior puede no ser obvia para todos.):

level(XP) ->
    if
        XP < 100  -> 1;
        XP < 200  -> 2;
        XP < 500  -> 3;
        XP < 1000 -> 4;
        % ...more levels...
        XP > 1000000 -> 70 % level cap
    end.

¿Es asombrosa la matemática? No, en absoluto. ¿Es la implementación manual de la determinación del elemento establecido? Sí. Eso es todo lo que es, y esto es más o menos la forma en que he visto en realidad hace en la mayoría de los juegos a lo largo de los años.

Como nota al margen, esto no debe hacerse cada vez que el jugador gana experiencia. Por lo general, realiza un seguimiento de "XP to go" como un valor, y una vez que el jugador agota o supera el valor "to go" (de cualquier forma que lo esté haciendo), calcula esto una vez para averiguar dónde está realmente el jugador en, almacene eso, calcule el próximo "ir" menos las sobras (si se permite llevar XP hacia adelante) y repita.