Una región de análisis de atracción usando conjuntos invariantes

¿Cómo puedo encontrar una región de atracción para un sistema dado? $k<0$

$$\begin{align} x' =-kx+x^3\\ \end{align}$$

Si y el sistema es , puede reescribirse en con .x ′ = - k x + x 3 x ′ = k x + x 3 k > $k < 0$$x' = -kx+x^3$$x'=kx+x^3$$k > 0$

Como el equilibrio es , hay dos regiones interesantes, y .x < 0 x > $x = 0$$x < 0$$x > 0$

Región 1, : Región 2, : x ′ = k x ⏟ < 0 + x 3 ⏟ < 0 < 0. x > 0 x ′ = k x ⏟ > 0 + x 3 ⏟ > 0 > $x < 0$

$$x'=\underbrace{kx}_{<0} + \underbrace{x^3}_{<0} < 0.$$ $x > 0$ $$x'=\underbrace{kx}_{>0} + \underbrace{x^3}_{>0} > 0.$$

Resumiendo los resultados en un "retrato de fase"

Aquí se puede ver que el punto de equilibrio es repulsivo (inestable), por lo tanto no hay región de atracción (es decir, la región de atracción es un conjunto vacío).$x = 0$

Sin embargo, la pregunta tiene más sentido para y . Este sistema tiene tres equilibrios, y , por lo tanto, hay 4 regiones de interés:x ′ = - k x + x 3 x = ± $k > 0$$x'=-kx+x^3$ x=$x = \pm \sqrt {k}$$x = 0$

1. $x < -\sqrt{k}$
2. $-\sqrt{k} < x < 0$
3. $0 < x < \sqrt{k}$
4. $x > \sqrt{k}$ .

Región 1, : Región 2, : Región 3 , : Región 4, : $x < -\sqrt{k}$

$$x'=-kx+x^3 < 0$$ $-\sqrt{k} < x < 0$ $$x'=-kx+x^3 > 0$$ x′=-kx+x3<0x>$0 < x < \sqrt{k}$ $$x'=-kx+x^3 < 0$$ x′=-kx+x3>$x > \sqrt{k}$ $$x'=-kx+x^3 > 0$$

Resumiendo los resultados en un "retrato de fase"

Aquí se puede ver que el punto de equilibrio es atractivo (estable), mientras que los equilibrios son repulsivos (inestables). Por lo tanto, la región de atracción es .x = ± $x = 0$ -$x = \pm \sqrt {k}$$-\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$