¿Por qué es imposible crear un observador para este sistema no completamente observable?

Considere una masa de punto 1D que se mueve a lo largo de un eje. Se aplica una fuerza como control. No hay gravedad u otras fuerzas involucradas. El sistema se puede describir en ecuaciones de espacio de estado como:$u$

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

El sistema mostrado es controlable, pero no observable. Ni siquiera estructuralmente observable y ciertamente no completamente observable. Por lo tanto, debería ser imposible construir un observador para este sistema.

Sin embargo, si conozco el estado inicial del sistema, puedo calcular el estado completo en todo momento, es decir, integrando la salida del sistema. ¿Cómo se alinea esto con el concepto de observabilidad? ¿Cómo incorporaría el estado inicial en las ecuaciones?

No puedo encontrar el error en mi línea de pensamiento, pero estoy seguro de que hay uno. ¿No entiendo la observabilidad?

La observabilidad significa que puede estimar el estado completo utilizando solo la salida, sin conocer el estado inicial. En otras palabras, tienes que averiguar dónde estás sin saber dónde estabas inicialmente.

Una razón más práctica por la que esto rara vez funciona es que cuando está limitado por sensores no perfectos y un tiempo de muestreo distinto de cero, tomar la integral de la aceleración causará errores crecientes en sus estimaciones de posiciones y velocidad. Por lo tanto, incluso si conoce el estado inicial, "perderá el rastro" con el tiempo.