Conversión de componentes del controlador PID con retroalimentación de estado en función de transferencia única y forma discreta de espacio de estado

He estado luchando con este problema durante aproximadamente una semana, como parte de un proyecto de un año. Estamos diseñando un controlador para un reactor específico basado en un modelo. Después de mirar esto por un tiempo, todavía no puedo hacer que esto funcione, así que realmente agradecería si pudiera obtener ayuda.

Una de las revisiones bibliográficas publicadas en las que nos hemos basado en gran medida enumera un controlador PID en cada componente por separado en lugar de una ecuación combinada, como sigue:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{I}} [G (n) - t a r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Simplemente combinando los tres componentes en la salida del controlador PID:

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

Y a partir de aquí, el autor agrega una capa adicional de retroalimentación de estado en la parte superior de la señal PID para aplicar la salida final del controlador en el sistema.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

Y R es la "salida del controlador" final. Aquí, es la ganancia del proceso, y son las ganancias integrales y derivadas, y son "ganancias" ajustadas para la retroalimentación de estado (inmutable), y es una constante, 0.5. es el estado del sistema, es un estado estimado que afecta la dinámica del modelo, y es el resultado final real que se envía a la planta. $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

Primero estaba tratando de convertir todo a una función de transferencia de un solo controlador, pero me dijeron que simplemente sumarlos no funcionaría.

También tuve la tarea de encontrar una representación de espacio de estado discreto de este controlador. Para esto, intenté cambiar el en $\frac{dG}{dt}(n)$ para deshacerme de ese problema. $G(n)-G(n-1)$

Luego, traté de definir una nueva variable de estado para para que y pudieran convertirse en primer orden. $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

Luego intenté sustituir los valores en el controlador PID, para obtener el como la variable de estado. Todos estos esfuerzos se basaron en las recomendaciones de mi profesor. $G(n)$

Sin embargo, todavía estoy muy atrapado, ya que he estado siguiendo ciegamente sus instrucciones sin una visión general para trabajar en ello. Pensé que sería una simple cuestión de transformación de Tustin, oh, cómo estaba muy equivocado ...

Estoy bastante frustrado, ya que después de un esfuerzo de una semana, todavía estoy perplejo por lo que parece ser un problema simple.

Si es posible, ¿puedo pedirle humildemente su ayuda en estas dos preguntas específicas?

Convierta este controlador en una función de transferencia de controlador único (como se ve típicamente en cualquier representación de función de transferencia, es decir, ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Convierta este controlador en una representación de espacio de estado discreto, dejando la frecuencia de muestreo como variable?

control-system pid-controller

— John Galt
fuente

MATLAB y Maple pueden resolver estos problemas. Tengo ambos programas Imprimí tu publicación e intentaré trabajarlos. Hice algo de esto en la universidad.

— Wesley Wortman

¿Puedes dar el título de la publicación?

— Hazem

No es una respuesta completa, pero espero que pueda ser de alguna ayuda.

Podrías reescribir el primer sistema como

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t \\ D (n) = K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

$E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Ahora puede reescribir el sistema como una sola función del error.

PAGS yo re (norte) = PAGS (norte) + yo (norte) + re (norte)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

yo (norte - 1) = PAGS yo re (norte - 1) - PAGS (norte - 1) - re (norte - 1) = PAGS yo re (norte - 1) - K_{PAGS} mi (norte - 1) - K_{PAGS} T_{re} \frac{mi (norte - 1) - mi (norte - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

PAGS yo re (norte) = K_{PAGS} mi (norte) + PAGS yo re (norte - 1) - K_{PAGS} mi (norte - 1) - K_{PAGS} T_{re} \frac{mi (norte - 1) - mi (norte - 2)}{Δ t} + \frac{K_{PAGS}}{T_{yo}} mi (norte) Δ t + K_{PAGS} T_{re} \frac{mi (norte) - mi (norte - 1)}{Δ t} = PAGS yo re (norte - 1) + K_{PAGS} ((1 + \frac{Δ t}{T_{yo}} + \frac{T_{re}}{Δ t}) mi (norte) - (1 + 2 \frac{T_{re}}{Δ t}) mi (norte - 1) + \frac{T_{re}}{Δ t} mi (norte - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

La segunda es un poco más compleja de reescribir como una sola ecuación, pero puede hacerlo de manera similar. El resultado debería ser

R (norte) = K_{1} R (norte - 1) - (γ K_{0 0} + K_{2}) R (norte - 2) + (1 + γ) (PAGS yo re (norte) - K_{1} PAGS yo re (norte - 1) + K_{2} PAGS yo re (norte - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Ahora solo necesita sustituir la ecuación del PID para obtener la ecuación del regulador en función del error.

— gvgramazio
fuente