Demuestre que

Definiciones y cosas:

Considere un espacio de probabilidad filtrado donde$(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Esta es una medida neutral al riesgo .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

donde es el movimiento estándar P = ˜ P- Brown.$W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$$\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Considere donde$M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Defina la medida directa :$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

donde es un proceso de velocidad corta y { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ es el precio del bono en el momento t.

Se puede demostrar que es un ( F t , P ) - martingala donde la dinámica del precio de los bonos se da como:$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

dónde

1. y ξ t estánadaptadas a F$r_t$$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. satisface la condición de Novikov (no creo ξ t se supone que representa nada en particular)$\xi_t$$\xi_t$

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Problema:

Definir el proceso estocástico st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Usa el teorema de Girsanov para demostrar:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

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Lo que probé:

Como satisface la condición de Novikov,$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

es un martingala.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Por el teorema de Girsanov,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Supongo que tenemos que es estándar Q -Brownian Motion si podemos demostrar que$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

Perdí mis notas, pero creo que pude mostrar usando el lema de Ito que

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

De aquellos deduzco que

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

¿Está bien?

(Al observar la pregunta y la notación más de cerca, la formulación parece ser problemática en dos lugares).

Hecho general

Sea $W$ el movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ . Considere $(L_t)_{t \in [0,T]}$ definido por

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ En general,$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$es una súper martingala. Bajo algunas condiciones (por ejemplo, la condición de Novikov),$L_t$es una martingala y se puede definir una medida de probabilidad$\mathbb{Q}$por $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Bajo$\mathbb{Q}$, el proceso $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Una indicación informal de por qué esto es cierto es la siguiente. Considere $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ . Según el teorema de Bayes, $W^{\lambda}$ es una $\mathbb{Q}$ -martingala si y solo si $L W^{\lambda}$ es una $\mathbb{P}$ -martingala. Ya que

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ debemos tener$\lambda = - \psi$, para que$W^{\lambda}$sea ​​unmovimiento$\mathbb{Q}$Browniano.

Precio con descuento como densidad de probabilidad

Los supuestos implícitos son que hay un activo subyacente cuyo precio $S_t$ sigue a

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ bajo el riesgo medida neutral$\mathbb{P}$. La tasa corta$(r_t)$procesos de t ) y volatilidad $\sigma_t$ se adaptan con suficiente regularidad para que existan las integrales. (Para que esto sea cierto, la filtración browniana generada por$(W_t)$ bajo la medida neutral de riesgo debe ser la misma que la generada por el movimiento físico browniano bajo la medida física, de modo que se aplique el teorema de representación de Martingala).

En esta configuración de filtración browniana, para cualquier momento, reclamo $T$$X_T$ , la dinámica neutral de riesgo de su precio$X_t$ toma la forma

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ El proceso$(\psi_t)$es la volatilidad del rendimiento de$X_t$, tanto bajo la medida física como neutral al riesgo.

En otras palabras, la dinámica neutral del riesgo del precio descontado $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$ viene dada por

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ (El precio con descuento de cualquierreclamo$T$ debe seguir una martingala bajo medida neutral de riesgo, sin arbitraje).

Si la condición de Novikov se mantiene, entonces $L_T = \frac{M_T}{M_0}$ define una densidad Radon-Nikodym

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ Bajo$\mathbb{Q}$, el proceso $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

En otras palabras, la recompensa descontada $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ de cualquier $T$ -clama $X_T$ , normalizada por su tiempo- $0$ precio $X_0$ , puede considerarse como la densidad de Radón-Nikodym de una medida $\mathbb Q$ . Bajo $\mathbb Q$ , el movimiento browniano neutral al riesgo ahora tiene una deriva dada por la volatilidad del retorno $\frac{d X_t}{X_t}$ .

Si $(Y_t)$ es el precio de un activo negociado, entonces $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ es un $\mathbb P$ -martingale. Esto implica que $(\frac{Y_t}{X_t})$es una$\mathbb Q$-martingala.

Medida Adelante

La medida hacia adelante es un caso especial de arriba donde $X_t = P(t,T)$ es el tiempo- $t$ precio del bono cupón cero maduración a $T$ . En particular, $X_T = P(T,T) = 1$ . En la expresión

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$ es la volatilidad del rendimiento del bono cupón cero.

(Si $(r_t)$ es determinista, entonces $\xi = 0$ , y la medida a plazo es la misma que la medida neutral al riesgo. El bono de cupón cero es un activo arriesgado solo cuando la tasa corta es estocástica).

La medida correspondiente $\mathbb Q$ se define por

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ Desde $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ se deduce de la discusión general anterior que, bajo$\mathbb{Q}$, el proceso $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

(En la pregunta publicada, la martingala $M_t$ debe ser $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$ . Son los precios de los activos con descuento los que son martingales bajo una medida neutral al riesgo).

Comentarios empíricos

La medida de avance $\mathbb Q$ tiene la propiedad de que los precios a plazo forman una$\mathbb Q$ -martingala.

Supongamos que $F(t,T)$ es el precio a plazo del contrato a término entrado en $t$ con la madurez $T$ . Por no arbitraje (paridad spot-forward, en este caso)

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ que, después del descuento, es un $\mathbb P$ -martingale. Entonces $F(t,T)$ es una $\mathbb Q$ -martingala.

Como el precio a plazo

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$