Optimización dinámica: ¿Qué sucede si no se cumple la condición de segundo orden?

Considere el siguiente problema de optimización dinámica

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOC

El hamiltoniano viene dado por

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ Las condiciones necesarias para la optimización están dadas por el máximo principio $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Supongamos que $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ es un maximizador, es decir, $H_{uu} < 0$ .

SOC

El teorema de flecha suficiente indica que las condiciones necesarias son suficientes si el hamiltoniano maximizado

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ es cóncavo en $x$ , es decir, si $H_{xx} < 0$ .

Problema

Supongamos que los FOC se mantienen, pero el SOC no se mantiene.

• ¿Qué se puede decir sobre la optimización de la solución?

No hay una respuesta única, dependerá de los detalles de cada problema. Veamos un ejemplo estándar.

Considere el problema de optimización intertemporal de referencia para el modelo Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

El valor actual de Hamiltoniano es

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Maximizando sobre solo tenemos$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

y la condición de segundo orden se mantendrá si la función de utilidad es cóncava,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Además, desde la condición de primer orden con respecto al consumo, si se mantiene la no saciedad local. Supongamos que tenemos esas preferencias "habituales".$\lambda >0$

El consumo masivo maximaliano es

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Las derivadas parciales con respecto a la variable de estado, son$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Entonces, aquí, la condición de suficiencia de Arrow-Kurz se reduce a si el producto marginal del capital está disminuyendo, constante o aumentando (lo que dependerá del signo de la segunda derivada de la función de producción). En el caso estándar y tenemos la condición suficiente.$f''(k) < 0$

En el caso más famoso de desviación, el modelo de Romer que inició la literatura de crecimiento endógeno, , y el producto marginal del capital es una constante positiva.$AK$$f''(k) =0$

Entonces, ¿qué podemos decir en este caso?

Aquí, Seierstad, A., y Sydsaeter, K. (1977). Condiciones suficientes en la teoría del control óptimo. Revista Económica Internacional, 367-391. Proporcionar varios resultados que nos pueden ayudar.

En particular, demuestran que si el hamiltoniano es cóncavo en conjunto en y , es una condición suficiente para un máximo. El hessiano del hamiltoniano es$c$$k$

(podemos ignorar el plazo de descuento)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

En el caso estándar con esta es una matriz definida negativa y por lo que el hamiltoniano es conjuntamente cóncava estrictamente en y . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Cuando , verificar que la matriz es negativa-semidefinida es sencillo usando la definición. Considere un vector y el producto$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

esta desigualdad débil tiene , por lo que el hessiano es conjuntamente cóncavo en y .$\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Entonces, en el modelo de crecimiento endógeno, la solución es de hecho un máximo (sujeto a las restricciones de parámetros necesarias para que el problema esté bien definido, por supuesto).$AK$