Demanda marshalliana de Cobb-Douglas

Al intentar maximizar la utilidad que tiene una función de utilidad cobb-douglas , con , encontré las siguientes fórmulas ( Wikipedia: Demanda Marshalliana ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

En uno de mis libros también encuentro estas fórmulas para el mismo propósito:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Con : precios de los bienes; : presupuesto $p_i$ $m$

Los probé todos y produjeron los mismos resultados.
Entonces, ¿hay alguna diferencia?

— usuario1170330
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Qué refieren a exclusivamente? a

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

¿Puedes enderezar alguna notación? En el segundo ejemplo, ¿son a y b los exponentes en la función de utilidad x1 y x2? ¿Suman 1? ¿Es y en el primer problema lo mismo que m en el segundo?

— BKay

@Jamzy: Sí, lo hace.

— user1170330

@BKay: Por favor vea mis anotaciones actualizadas.

— user1170330

Respuestas:

Como las ecuaciones son exactamente iguales. Al sustituir a por en la tercera y cuarta ecuaciones, se obtienen la primera y la segunda ecuaciones. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
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¿Estas fórmulas también se pueden editar para que funcionen con una función de utilidad como ? Entonces, ¿con un número adicional antes de ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Sugiero hacer esto como una nueva pregunta.

— BKay

¿Qué pasa si ? ¿Debo usar las fórmulas 3 y 4 en este caso?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 si todavía funciona

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Así es como pasas de tu primera ecuación a tu segunda. su función de utilidad es ya que cambiaré ligeramente a (1-a) Para optimizar estas dos opciones, debe maximizar la utilidad , wrt sus variables de elección. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

sujeto a usando la Ley Walras. Básicamente, para optimizar la utilidad, se gastará todo el dinero. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Las funciones de Cobb-Douglas son típicamente difíciles para problemas de optimización. Se puede usar una transformación monotónica que conserva las propiedades ordinales de la función.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Esto se usará en su lugar. Se aplicará la misma restricción presupuestaria.

Las condiciones de Lagrange y de primer orden están a continuación

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

manipular las condiciones de primer orden da como resultado

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

sustituyendo en la restricción presupuestaria $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Con estos resultados, podemos calcular los paquetes de consumo óptimos de y para un precio dado, combinación de riqueza. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
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