¿Hay alguna manera de vincular el teorema de máximo de Berge con el teorema de la envolvente?

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Estados del teorema de Berge

Deje que , sea una función conjunta continua, sea continua (ambas correspondencia hemicontinua superior e inferior) de valor compacto. La función de valor maximizado y maximizador son Entonces es continuo y es hemicontinuo superior. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Según el Análisis microeconómico de Varian (1992), página 490, el teorema del sobre es simplemente:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ es el maximizador de $f(\cdot, a)$ .

Me parece que el teorema de la envoltura implica el teorema de Berge, pero la derivación parece mucho más simple. ¿Hay una relación entre los dos?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epicuro
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No parece que los dos estén preocupados con el mismo objetivo. Berge establece propiedades de la función de valor y del conjunto de maximizadores. Envelope se preocupa por mostrar cuál es el efecto de variar un parámetro ... tal vez podría explicar el tipo de conexión entre los dos que lo intriga.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Disculpe la imprecisión de mi pregunta. Ahora descubrí que este queston surgió de mi vago recuerdo de la proposición 2 en Lucas (1978). Ahora puedo formularlo con mayor precisión. ¿Qué tipo de condiciones sobre la función de utilidad y la restricción nos permiten aplicar el teorema de la envolvente solo después de que establecimos la continuidad de la función del valor mediante el teorema de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicuro del

No creo que sea necesario "establecer la continuidad de la función de valor" para utilizar el teorema de la envolvente. Piensa que la parte clave es el punto sobre el control . Ver Teorema 2 en la página de Wikipedia. Allí, la continuidad de V es un resultado. En cualquier caso, la página de Wikipedia establece los teoremas en su totalidad. Te dirá lo que debes asumir para usar el teorema. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

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Están relacionados y generalmente caen en la misma discusión, pero como @Alecos menciona en los comentarios, los dos teoremas muestran cosas diferentes.

Supongo que la conexión que buscas es el hecho de que si la derivada existe, entonces, debido a que la diferenciabilidad implica continuidad, es posible que pueda obtener parte del teorema del máximo. Sin embargo, para comparar y contrastar dos teoremas no solo debes mirar los resultados. También debes mirar los supuestos. Por ejemplo, el teorema del máximo no supone ningún tipo de diferenciabilidad. El teorema de la envolvente sí (al menos algunas formas de él). En cualquier caso, los supuestos que se incluyen en cada uno son diferentes (algunos más fuertes, otros más débiles).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Además, hay esto. El teorema de la envolvente no te dice nada sobre la función de control. Por lo tanto, definitivamente no podrá obtener el resultado de que es hemicontinuo superior. $C^*$

— jmbejara
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Citando el OP de un comentario

¿Qué tipo de condiciones sobre la función de utilidad y la restricción nos permiten aplicar el teorema de la envolvente solo después de que establecimos la continuidad de la función del valor mediante el teorema de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

En el artículo referenciado de Lucas (1978), la Proposición 1 establece que

ingrese la descripción de la imagen aquí

donde es la función de valor, y es su definición. Por lo tanto, parece que es la continuidad de la función Price la que se destaca como condición aquí, pero anteriormente en el artículo, Lucas define la función Utility como una función no negativa que es $v(z,y;p)$ $(i)$

continuamente diferenciable, acotado, creciente y estrictamente cóncavo

La Proposición 2 del artículo establece la diferenciabilidad de la función de valor, sin requerir más suposiciones.

— Alecos Papadopoulos
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