Teorema de Weierstrass en optimización

El teorema de Weierstrass establece que cualquier secuencia limitada tiene una subsecuencia convergente.

Lo hice en mi curso de matemáticas y lo entendí completamente. Pero cuando estaba aprendiendo técnicas de optimización en economía, la definición del libro Sundaram se modificó ligeramente para que se adaptara a la comprensión de la optimización. Va así: (ver Figura 1)

Si lo lees, está diciendo exactamente lo que dijo el teorema original. La única diferencia es que, en lugar de comenzar con una secuencia limitada y llegar a la conclusión de que tendrá una subsecuencia convergente, comenzó con una subsecuencia convergente (asumiendo un conjunto compacto) y llegó a la conclusión de que debería estar limitada. Tiene sentido ¿verdad? Lo hizo también hasta que encontré un resultado en un conjunto compacto, indicado en el mismo libro. (Ver figura 2)

Esta redefinición del teorema lo convirtió en una definición circular: si un conjunto solo puede ser compacto si n solo si está limitado, al suponer Compacidad en la redefinición asumimos implícitamente la limitación.

Entonces, mi pregunta es por favor dime dónde me estoy equivocando. ¿He entendido la redefinición de forma incorrecta o he perdido el punto?

Figura 1 Figura 2

optimization

— Elina Gilbert
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Como cuestión de estilo de escritura, ¿puedo sugerirle que tal vez debería evitar el uso excesivo del pronombre "it", cuyo referente es extremadamente confuso, especialmente en los párrafos segundo y tercero.

— Herr K.

No veo lo que consideras circular aquí.

— Michael Greinecker

La compacidad necesita acotación y la secuencia acotada cerrada es compacta. Si el 'consideremos el conjunto compacto' se ocupó del conjunto cerrado y acotado (ya un teorema [1.21] que estableció su relación), entonces concluirlo con el hecho de que el conjunto tendrá un máximo y un mínimo es obvio. Esta redefinición le quitó la energía del teorema original de Weierstrass. @Michael Greinecker

— Elina Gilbert

Lo que el libro llama el "Teorema de Weierstrass" se conoce más comúnmente como el Teorema del valor extremo , que establece que una función continua definida en un dominio compacto alcanza un máximo y un mínimo.

Una prueba común de este teorema implica el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass , que aprendió en su curso de matemáticas y que dice que cada secuencia limitada tiene una subsecuencia convergente.

Por lo tanto, los dos teoremas son en realidad declaraciones diferentes, aunque relacionadas.

— Herr K.
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