En el modelado económico, ¿cómo estamos seguros de que los equilibrios linealizados se comportan de manera similar a los equilibrios originales?

El siguiente problema está en el contexto del tiempo continuo, aunque sospecho que también se podría decir algo sobre el tiempo discreto.

Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:

$$\dot x=f(x)$$

donde , para t ∈ I ⊂ R .$x(t)\in \mathbb{R}^n$$t\in I\subset \mathbb{R}$

Estoy leyendo un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. En este libro, afirman que uno debe verificar algunas condiciones en , generalmente f ∈ C 2 ( E ⊂ R n ) , para asegurarse de que la linealización de f se comporte de manera cualitativamente similar (asegura la existencia de un difeomorfismo C 1 ) )$f$$f\in C^2(E\subset \mathbb{R}^n)$$f$$C^1$

Por ejemplo, considere

$$\dot x=-x-\frac{y}{ln(\sqrt{x^2+y^2})},\dot y=-y-\frac{x}{ln(\sqrt{x^2+y^2})}$$

con . Este f es solo C 1, no C 2 (transformar en coordenadas polares ( θ , r ) , y luego ver d 2 ˙ $f(0)=0$$f$$C^1$$C^2$$(\theta,r)$ tiende al infinito cuandorva a cero). La linealización da un nodo estable, pero de acuerdo con una definición más general, tenemos un enfoque estable para el sistema no lineal original.$\frac{d^2 \dot \theta}{dr^2}$$r$

Sin embargo, cada vez que veo que se está haciendo algún tipo de linealización (DSGE o Growth Theory), ni una sola vez veo alguna preocupación relacionada con esto ... Tal vez, hay algo, que me estoy perdiendo, que hace que la diferencia económica. Las ecuaciones ya satisfacen esto. ¿O me equivoco, y esto simplemente no es, y no debería ser una preocupación para los macroeconomistas teóricos?

Cualquier ayuda sería apreciada.

Muchos macroeconomistas tienen una actitud algo arrogante hacia la verificación de la validez de los métodos de linealización, pero definitivamente no todos. Para ver un ejemplo de los problemas de aproximación que se toman en serio, consulte el Apéndice A.3 sobre "Log-Linealización y Determinación del Equilibrio" en el libro Interés y Precios de Michael Woodford.