Resolver un problema de maximización por sustitución cuando la restricción está en forma implícita

Estoy tratando de entender cómo se derivaron las condiciones de primer orden para una solución interior de un problema de maximización utilizando el sustitución método.

El problema es: $$ \ max \ limits_ {x \ ge0, y \ ge0} P (a-x) + (1-P) (b-y) $$ sujeto a $$ Pf (x) + (1-P) f (y) = c $$ donde: $ a, b, c & gt; 0 $, $ P \ in (0,1) $, $ f: [0, + \ infty] \ a [0, + \ infty] $, aumentando y estrictamente cóncavo sobre su dominio.

Puedo ver cómo esto se resuelve usando un lagrangiano para encontrar, desde las condiciones de primer orden, que $ f '(x ^ *) = f' (y ^ *) $. La concavidad estricta de $ f $ entonces implica $ x ^ * = y ^ * $. Pero no sé cómo podemos resolverlo sustituyendo la restricción en la función objetivo. Dado que $ f $ es invertible, si $ y $ no apareciera en la restricción, encontraría $ x $ en la restricción invirtiendo $ f $ y la sustituiría en la función objetivo. Hacer esto aquí lleva a complicaciones que parecen innecesarias para este simple problema. Tiene que haber una forma más simple que no pueda entender: ¿qué es? ¡Gracias!

Aquí hay dos métodos. Primer método: la sustitución se puede hacer invirtiendo $ f $. Dado que $ f $ es estrictamente creciente y continua, $ f ^ {- 1} $ está bien definido. Por lo tanto, la restricción se puede escribir \ begin {equation *} x = f ^ {- 1} \ Big (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P} \ Big) \ end {ecuación *}

El objetivo se convierte en. \ begin {equation *} \ max_ {y \ geq 0} {P \ Big [af ^ {- 1} \ Big (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P} \ Big) \ Big] + (1- P) (por)} \ end {ecuación *}

El derivado de esta expresión con respecto a $ y $ es igual a \ begin {align *} &erio; (1-P) f '(y) (f ^ {- 1}) ^ {'} (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P}) - (1-P) \\ = & amp; (1-P) \ dfrac {f '(y)} {f ^ {'} \ circ f ^ {- 1} (\ dfrac {c- (1-P) f (y)} {P})} - (1-P) \\ &erio; = (1-P) (\ dfrac {f '(y)} {f' (x)} - 1) \ end {align *} Y así, $ f '(y ^ {*}) = f' (x ^ {*}) $ en el óptimo.

Segundo método: dado que $ f $ es invertible, podemos hacer un cambio en las variables y definir $ w = f (x) $ y $ z = f (y) $. El problema entonces se convierte \ begin {equation *} \ max_ {w \ geq 0, z \ geq 0} {P (a-f ^ {- 1} (w)) + (1-P) (b-f ^ {- 1} (z))} \ end {ecuación *} sujeto a \ begin {equation *} P w + (1-P) z = c \ end {ecuación *} Sustituyendo $ w = (c- (1-P) z) / P $ en las entregas del problema \ begin {equation *} \ max_ {z \ geq 0} {P (af ^ {- 1} (\ dfrac {c- (1-P) z} {P}) + (1-P) (bf ^ {- 1} (z) )} \ end {ecuación *} La diferenciación con respecto a $ z $ produce la misma solución.

Sea $ g $ la función inversa de $ f $ definida sobre el rango de $ f $. Note que $ g $ está aumentando y es estrictamente convexo. Podemos reescribir el problema de maximización como: \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; P (a - g (u)) + (1-P) (b-g (v)) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} donde $ u = f (x) $ y $ v = f (y) $. Resolver arriba es equivalente a resolver \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {u \ geq 0, \ v \ geq 0} & amp; Pg (u) + (1-P) g (v) \\ \ text {s.t.} & Amp; Pu + (1-P) v = c \ end {eqnarray *} Ahora puede sustituir $ v = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ y reescribir el problema como: \ begin {eqnarray *} \ min \ limits_ {0 \ leq u \ leq \ frac {c} {P}} & amp; Pg (u) + (1-P) g \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) \ end {eqnarray *} Al diferenciarnos con respecto a $ u $, obtenemos el FOC como:

$ \ displaystyle Pg '(u) - Pg' \ left (\ frac {c - Pu} {1-P} \ right) = 0 $

Dado que $ g $ es estrictamente convexo, la solución es: $ u = \ displaystyle \ frac {c - Pu} {1-P} $ es decir, $ u = v = c $. Por lo tanto, en el óptimo $ x = y $ se mantiene.