dominio estocástico de segundo orden sin la misma media

Sean y dos distribuciones con la misma media. Se dice que domina de segundo orden estocásticamente ( SOSD ) si para todos los crecientes y cóncavos . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Esta definición anterior es equivalente a

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Me dijeron que el requisito de que y tengan la misma media no es realmente necesario. Supongamos que y no no tienen la misma media. ¿Podemos entonces tener la equivalencia entre y ? $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

Nota: pude mostrar sin la misma condición media, pero no al revés. $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— Herr K.
fuente

$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
fuente