Condición de primer orden para la maximización de ganancias en la industria del juego

Estoy trabajando en un modelo de porcentajes de pago óptimos en la industria del juego.

Debido a que el precio nominal de un boleto de $ 1 es siempre $ 1, utilizamos una estrategia de precio efectiva donde Q = $ 1 en premios ganados. Si un juego paga el 50%, el precio efectivo es de $ 2, ya que eso es lo que se necesitaría gastar para ganar los $ 1 esperados en premios. Bastante simple, ¿verdad?

Bueno, me encontré con esta nota al pie de página en algunas investigaciones, y no puedo entender cómo llegaron a la Condición de primer orden para la maximización de ganancias de la primera ecuación:

"Supongamos que representa los costos operativos en función de las unidades de cantidad, donde una unidad de cantidad se define como un dólar en el valor esperado de los premios.$C(Q)$

Las ganancias netas de la agencia de lotería están dadas por

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

donde es el precio cobrado por una unidad de cantidad.$P$

La condición de primer orden para la maximización de beneficios se puede escribir

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Si los costos operativos marginales son del por ciento de las ventas y la tasa de pago es del por ciento, tenemos y , lo que implica que la elasticidad precio de la demanda con el beneficio máximo es .50 P = 2 C ' = .12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Para que un aumento en la tasa de pago aumente las ganancias, debe exceder en valor absoluto ".$E_{PQ}$$2.3$

- [Cita] Clotfelter, Charles T y Philip J Cook. "Sobre la economía de las loterías estatales". Revista de Perspectivas Económicas: 105-19.

En la ecuación FOC, es la elasticidad precio efectiva de la demanda. Eso normalmente se encontraría tomando la derivada de con respecto a en la primera ecuación. P $-E_{PQ}$$P$$Q$

¿Cómo terminaron donde lo hicieron? Tiene que haber algo que me falta.

Tengo problemas para comprender cómo se alcanzó esa Condición de primer orden en particular, ya sea como resultado de algún proceso derivado en la ecuación de Ingresos netos, o si es simplemente una condición externa que se aplica.

¡Gracias!

La expresión en cuestión se encuentra en la nota a pie página del artículo referenciado. Leer el periódico, vemos que la variable de decisión aquí es "la tasa de pago", que es el inverso de . De manera equivalente, podemos resolver el problema de maximización con respecto a (y no a wrt ). Más aún, la "elasticidad precio de la demanda" implica la derivada de con respecto a , y no al revés:P P Q Q $11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

y esperamos que sea negativo (un precio más alto significa una tasa de pago más baja que conduce a una menor demanda de la cantidad medida aquí, es decir, menos "demanda de premios").

Podemos escribir el problema de maximización como

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

La condición de primer orden es

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Multiplique por :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Esto tiene sentido. Conectando los valores presentados en la referencia, tenemos

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

que está muy cerca del valor resultante de la ecuación presentada por los autores. No he podido, por las manipulaciones algebraicas que intenté, replicar su fórmula, pero la ecuación es correcta en cualquier caso. Si surge una reconciliación, actualizaré.$(2)$