Límites de compensación para el recuento de rango de medio espacio

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¿Cuál es el mejor límite actual para realizar consultas de conteo de rango de medio espacio en un conjunto de puntos dimensionales, expresados en forma de una compensación tiempo / espacio. De acuerdo con el artículo seminal de 1993 de Matousek (Teorema 6.2, Búsqueda de rangos con cortes jerárquicos eficientes), podemos hacer un conteo de rangos para consultas que son la intersección de espacios intermedios, para , usando una estructura de datos de tamaño , para , en $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ tiempo. Paraeste es el tiempo. Sin embargo, la encuesta de Agarwal sobre búsqueda de rango (Tabla 36.3.2) afirma que el límite es $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ . ¿Cuál es la declaración correcta del límite? Alternativamente, ¿qué estoy malentendido? Finalmente, ¿hay algún término de registro oculto cuando? $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ $m=n^d$

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— pkn
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El límite de tiempo más fuerte de Matoušek es correcto.

La prueba del Teorema 6.1 ( en la versión del diario ) utiliza un truco de indirección que reduce el espacio requerido para el tiempo de consulta logarítmica de a . Intuitivamente, el truco es agrupar los puntos en subconjuntos de tamaño pollogarítmico, construir una estructura de datos de espacio lineal para cada subconjunto y luego construir una estructura estándar de tiempo de consulta logarítmica sobre los subconjuntos. Conectar el espacio mejorado vinculado a la maquinaria multinivel / compensación de Matoušek, descrita en generalidad sangrienta en la versión más larga de la encuesta de Agarwal $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$ - da la forma de Matoušek de la compensación del espacio-tiempo. (De hecho, el truco de la indirección es solo una aplicación muy cuidadosa de la maquinaria de compensación estándar).

— Jeffε
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Para ser explícito: el teorema 6.2 en el artículo de Matousek afirma que el recuento de medio espacio se puede hacer en

espacio,

tiempo. Cuando

, este es el tiempo

... ¿no hay un factor de registro aditivo no declarado? Solo pregunto porque en la encuesta el Teorema 7 y el Corolario 8 tienen un aditivo

que no está presente en la declaración del teorema de Matousek.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah, ya veo. Sí, hay un error; el límite superior

en el enunciado del teorema es demasiado flojo. La prueba requiere

; de lo contrario, el parámetro entero

sería menor que

. Agregar el término logarítmico al tiempo de consulta también soluciona el problema.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

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Hay una breve discusión de los resultados en la búsqueda de rango de medio espacio justo por encima de la Tabla 36.3.2 en la Encuesta de Agarwal y otra en la sección 4.3 de esta encuesta . El primero no parece dar muchos detalles más allá de "Se puede lograr una compensación de espacio / tiempo de consulta para la búsqueda de rango simplex combinando las estructuras de datos de tiempo de consulta de tamaño lineal y logarítmico", pero el último parece proporcionar bastante más detalles sobre el intercambio espacio / consulta-tiempo. Sugiero mirar la sección 4.3, Teorema 7, Corolario 8 y sus pruebas. No los he leído con suficiente detalle para saber si responde completamente a su pregunta, pero al menos es un buen lugar para comenzar.

— Joe
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