Problema de tirar el dado

Editar: Creo que el espíritu de la pregunta era bueno, pero debe mejorarse. Las suposiciones hechas para el lanzamiento de la moneda hicieron esa pregunta trivial, y la tirada del dado todavía no está suficientemente definida.

¿Cuáles son las suposiciones razonables que podemos hacer sobre una tirada de dados que hacen que la pregunta sea manejable, pero no trivial? El mejor lugar para cualquier discusión adicional es probablemente en el chat.

Esta pregunta está inspirada y estrechamente relacionada con el problema de Super Mario Galaxy (SMG) .

Supongamos que Mario camina sobre la superficie de un planeta. Si comienza a caminar desde un lugar conocido, en una dirección fija, por una distancia predeterminada, ¿qué tan rápido podemos determinar dónde se detendrá?

Como primer paso, nos gustaría simplificar la pregunta tanto como sea posible.

Pregunta 1

Supongamos que comenzamos con una moneda con las cabezas hacia arriba, la lanzamos con un par inicial y la atrapamos nuevamente después del tiempo t . ¿Qué tan rápido podemos determinar si la moneda caerá en cara o cruz?$T$$t$

Para ser más precisos, una moneda es un cilindro que tiene una altura cercana a 0 (insignificante en comparación con su radio). La moneda rotará con velocidad angular constante en un ángulo fijo durante un tiempo fijo. Al final de ese período de tiempo, congelamos tiempo y espacio y examinamos la posición de la moneda. Esto es lo que se entiende por "atrapar" la moneda. Hay tres posibilidades: la moneda es exactamente vertical, con el borde delgado apuntando precisamente hacia arriba. Por ahora, ignoramos esta posibilidad. Por lo tanto, si observa la moneda desde arriba, puede ver el lado de las caras o el lado de las colas. Cualquier lado visible desde arriba en este instante es el valor del lanzamiento.

El par inicial y el período de tiempo deben ser análogos a los de Mario caminando en una dirección fija durante una distancia predeterminada. La diferencia es que, en lugar de caminar a lo largo de la superficie del politopo durante cierta distancia, estamos dejando que gire libremente en el espacio durante un número fijo de radianes.

Pregunta 0

Si la moneda gira alrededor de un eje fijo, ¿es periódico el valor del lanzamiento (el lado de la moneda visto desde arriba)? Como definí el problema anterior, ¿la moneda gira necesariamente alrededor de un eje fijo, o puede girar de manera más impredecible?

Al igual que en el problema SMG, nos gustaría hacer algo más inteligente que "caminar" explícitamente por cada cara cuando la moneda se lanza. En esta versión enormemente simplificada del problema, creo que esto debería ser posible, porque el lanzamiento de la moneda debería ser periódico.

En la segunda pregunta, consideramos una restricción menos trivial del problema original.

Pregunta 2

$s$$T$

Tenemos que hacer algunas suposiciones simplificadoras sobre el dado, de lo contrario, esto se convierte más en un problema de modelado físico. Por ahora, supongamos que tiramos el dado como tiraríamos una moneda: la lanzamos, dándole un poco de rotación inicial, y después de un corto tiempo la atrapamos nuevamente, y cualquier lado que quede boca arriba es el valor del lanzamiento.

La versión no ponderada del problema tirada es una restricción del problema SMG porque la matriz debe ser un politopo regular, mientras que el planeta en el que Mario camina puede ser cualquier politopo convexo . ¿La restricción a los politopos regulares facilita el problema?$P$

Pregunta 3

Incluso para un dado regular, no sé si la secuencia de caras que están boca arriba será periódica, pero ¿podemos aproximar la tirada del dado por una secuencia periódica y así obtener una "mejor suposición" del resultado más rápido de lo que podríamos? resolver el problema original? Creo que la respuesta es claramente sí, pero ¿cuál es la compensación entre la calidad de nuestra estimación y la mejora en el tiempo de ejecución?

Pregunta 4

Ahora suponga que el dado está ponderado, de modo que su velocidad depende de la cara actual. En la terminología del problema SMG original , esto significa que la velocidad a la que Mario camina depende de la cara en la que se encuentra Mario. Quizás algunas partes del planeta tienen un terreno más accidentado que otras.

En primer lugar, creo que probablemente te refieres a un impulso angular y no a un par. (Puede ver el impulso como el efecto total de un par aplicado durante un corto tiempo). Si descuida la resistencia al aire, etc., el movimiento de cualquier cuerpo rígido (y en particular una moneda o un cubo) en el marco COM es muy simple: simplemente gira con una velocidad angular constante.

$\omega t$$-\omega t$

No diría que este problema es un buen modelo para el problema SMG porque en SMG tienes un punto que se mueve con velocidad constante en la superficie, mientras que aquí todo el cuerpo girará con una velocidad angular constante, lo que hace que este problema sea mucho más simple .