¿Cómo obtuvo Knuth A?

Al interpretar las claves como números naturales, podemos usar la siguiente fórmula.

h (k) = ⌊ m (k A mod 1) ⌋

$\begin{equation} h(k) = \lfloor m (kA\bmod{1}) \rfloor \end{equation}$

Lo que tengo problemas para entender es cómo elegimos el valor de A donde:

0 < A < 1

$\begin{equation} 0 < A < 1 \end{equation}$

Según Knuth, un valor óptimo es:

A \approx (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887...

$\begin{equation} A \thickapprox (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887... \end{equation}$

Entonces, mi pregunta es ¿cómo llegó Knuth a esto y cómo podría calcular un valor óptimo para mis datos específicos?

hash-function

— ChaosPandion
fuente

Me parece interesante que

A = 1 + ϕ

$A = 1+\phi$ ... y las búsquedas en Google que en realidad trajeron una referencia a "Knuth argumenta que la multiplicación repetida por la proporción áurea minimizará las brechas en el espacio hash y, por lo tanto, es una buena opción para combinar múltiples claves para formar una ".

— Ahmed Masud

Si recuerdo correctamente, se explica en uno de los ejercicios en qué sentido

k A \mod 1

$kA \mod 1$ están bien distribuidos en el intervalo de la unidad. Sin embargo, no tengo el libro ahora para revisar.

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore es un teorema bien conocido de que tiene un módulo distribuido uniformemente para cualquier irracional (teorema 6.3 de los "Números Irracionales" de Niven). Quizás es la mejor opción en algún sentido.

A, 2 A, \dots

$A, 2A, \ldots$

1

$1$

A

$A$

A = 1 + ϕ

$A=1+\phi$

— Didest

No existe tal cosa como "más óptimo"; eso es como decir "más mejor". O es el valor óptimo o no lo es.

— Jeff el

Vale la pena señalar que este valor también es utilizado por procesos naturales. Específicamente, el ángulo dorado gobierna la colocación de pétalos, floretes, etc. en muchas plantas. Se puede aplicar una rotación por este ángulo repetidamente cuando se colocan puntos alrededor de un círculo y los puntos estarán espaciados uniformemente (dentro de un factor constante).

— James King

Vea el ejercicio 9 de la sección 6.4 de El arte de la programación de computadoras .

Cualquier irracional funcionaría, porque rompe una brecha más grande de (uso la notación para ). $A$ $\{kA\}$ $\{A\}, \{2A\}, \ldots, \{(k-1)A\}$ $\{x\}$ $x\mod 1$

Pero si o , tiene una propiedad especial: estos son los únicos valores para los cuales ninguno de los dos vacíos creados recientemente es más del doble que el otro. $A = \phi^{-1}$ $A = \phi^{-2}$

— didest
fuente

Además, el tamaño del espacio más pequeño es lo más grande posible.

— Jeff el