Un algoritmo de búsqueda de subconjuntos

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Supongamos que tengo una lista de subconjuntos de . Puedo hacer un preprocesamiento en esta lista si es necesario. Después de este preprocesamiento, se me presenta otro conjunto . Quiero identificar cualquier conjuntos con . $\cal X$ $\{1, ..., n\}$ $A \subseteq \{1, ..., n \}$ $B \in \mathcal X$ $B \subseteq A$

El algoritmo obvio (sin preprocesamiento) lleva tiempo : simplemente prueba contra cada separado. ¿Hay algo mejor que esto? $O(n |\cal X|)$ $A$ $B \in \mathcal X$

Si ayuda, puede suponer que, para cualquier , el número total de coincidencias está limitado por algo como . $A$ $B \in \mathcal X$ $O(1)$

ds.algorithms ds.data-structures

— David Harris
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Esta no es una respuesta. Es una observación simple pero larga. Espero que te sea útil.

La versión de decisión de su problema es: ¿ contiene un subconjunto de ? $\cal X$ $A$

Este problema está relacionado con el problema de evaluar funciones booleanas monótonas de variables. Un subconjunto de es equivalente a una -bitstring, por lo que la familia es equivalente a una función booleana de variables. Dada una función , se puede definir la función menos monótona que no sea mayor que , es decir, . El problema original se reduce a la evaluación de . Por el contrario, el problema de evaluar una función booleana monótona puede reducirse al problema original, ya sea ingenuamente tomando $n$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\cal X$ $f$ $n$ $f$ $f$ $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ $g(A)$ $f=g$ o eligiendo una que haga más pequeña. $f$ $\cal X$

En la práctica, los BDD tienden a funcionar bien. Entonces, un enfoque posible es construir el BDD para , derivar de él el BDD para luego evaluar . El tamaño promedio de la BDD para debe ser , porque hay muchas funciones booleanas monótonas . Por lo tanto, en teoría, esta es una mala solución. $f$ $g$ $g$ $g$ $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

Pero (1) podría ser posible un mejor análisis y (2) podría haber ajustes en este enfoque que lo hagan mejor. Por ejemplo, no utilicé de ninguna manera la correlación entre el tamaño de y el tamaño de BDD de . (Debe haber una correlación, pero no sé si es simple o utilizable aquí). $\cal X$ $g$

Para completar, un algoritmo simple para calcular el BDD para desde el BDD para es el siguiente. Aquí es la operación estándar en BDD. $g$ $f$

m (x ? f_{1} : f_{0}) = x ? (m (f_{0}) \lor m (f_{1})) : m (f_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Radu GRIGore
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¿No es esto más o menos equivalente a calcular previamente la respuesta para cada subconjunto de , almacenar en caché todos los resultados en un árbol binario de tamaño , y luego buscar hacia la derecha resultado (en el tiempo ) cuando recibe ?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$

2^{n}

$2^n$

O (n)

$O(n)$

A

$A$

— mjqxxxx

Usar espacio exponencial para almacenar datos preprocesados me parece una trampa, aunque no está prohibido en la pregunta. Pero puedo estar predispuesto hacia la Iglesia de la peor complejidad.

— Tsuyoshi Ito

mjqxxxx y Tsuyoshi: Estoy de acuerdo con los dos. Reescribí el texto para que, espero, quede más claro que estoy de acuerdo. :)

— Radu GRIGore

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Quizás pueda utilizar una técnica de "recuperación de información": en la fase de preprocesamiento, cree un índice invertido (en su caso, una simple matriz bidimensional es suficiente) que mapea un elemento a los conjuntos en que lo contienen: . $n \times | {\cal X}|$ $x_i \in \{1,...,n\}$ $\cal X$ $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

Configure una matriz entera de longitud. $occ$ $|\cal X|$

Luego, por cada recupera , y por cada haz $y_i \in A$ $inv(y_i)$ $X_j \in inv(y_i)$ $occ[j] = occ[j]+1$

Al final, los conjuntos que necesita son aquellos para los cuales . $|X_j|=occ[j]$

Puede acelerar arbitrariamente el proceso (a costa del espacio exponencial) indexando dos o más elementos juntos.

— Marzio De Biasi
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