¿Las triangulaciones de Delaunay en la esfera maximizan el ángulo mínimo?

Las triangulaciones de Delaunay en el plano maximizan el ángulo mínimo en un triángulo. ¿Es lo mismo válido para la triangulación de puntos de Delaunay en la esfera? (aquí el "ángulo" es el ángulo local en un vecindario alrededor del vértice en el vértice).

Inspirado pero no relacionado con esta pregunta en Math.SE.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Suresh Venkat
fuente

Ciertamente, la propiedad se mantendría para un conjunto localizado en una región pequeña y plana de la esfera, ya que es múltiple. La verdadera pregunta sería si la propiedad se sacrifica a medida que los puntos se extienden por la esfera. Supongo que para tener una triangulación de Delaunay en primer lugar, necesitaría triángulos gruesos incluso más que en el caso euclidiano, por lo que la propiedad se mantendría.

— Josephine Moeller

¿No se deduce esto del hecho de que la proyección estereográfica desde un punto genérico en la esfera asigna círculos a círculos y preserva los ángulos entre las curvas de intersección (~ bordes) debido a la conformidad? ¿O me estoy perdiendo algo?

— alguien

@ alguien Sí, eso debería hacerlo. Al menos la mayor parte. Puede haber un enganche o dos, pero esa sería la idea central. Me preguntaba sobre eso. No me di cuenta de que el mapeo estereográfico era conforme.

— Josephine Moeller

@SureshVenkat Ahora que mencionas el espacio hiperbólico, tal vez tengo mi intuición al revés. En el espacio hiperbólico hay que tener en cuenta el hecho de que existen círculos circunscritos "ilegales" (es decir, hiperciclos y horociclos). Mientras que en el espacio esférico no lo haces; siempre puedes encontrar círculos que pasen por tres puntos.

— Josephine Moeller

No creo que esto funcione. Debes asegurarte de que la proyección tome grandes círculos en líneas (ya que estás midiendo los ángulos entre los bordes de los triángulos, que son grandes círculos / rectos). No creo que puedas hacer esto con una proyección estereográfica. Solo puede hacer esto con una proyección desde el punto en el centro de la esfera, que lleva algunos círculos a las elipses.

— Peter Shor

PRIMER ARGUMENTO: Esta fue mi primera respuesta. Tenga en cuenta que este argumento es incorrecto. Vea mi segundo argumento a continuación.

No creo que sea verdad. La razón por la que funciona en el plano es que en un círculo, el ángulo inscrito sostenido por un acorde es la mitad del ángulo central correspondiente. Por lo tanto, si tenemos un triángulo con un ángulo pequeño, los puntos que formarían un ángulo más grande con el borde opuesto están dentro del círculo vacío de Delaunay, por lo que no son uno de los puntos en la configuración de la que estamos encontrando una triangulación.

Ahora, suponga que tiene una triangulación de Delaunay en la esfera. Coloque un punto en el centro de la esfera y proyecte todos los piontes en un plano. Los bordes de los triángulos (grandes círculos en la esfera) se llevan a segmentos de línea. Pero los círculos que dan la propiedad de la bola vacía se convierten en elipses, por lo que si hay un punto fuera de la elipse proyectada pero dentro del círculo del triángulo, este punto formaría un ángulo mayor con el borde.

EDITAR:

Espera un minuto. Esta respuesta es completamente incorrecta, porque la proyección central no conserva los ángulos. Sigo pensando que la conjetura es incorrecta, porque tengo un argumento mucho más complicado que el teorema sobre los ángulos inscritos no se sostiene en la esfera. Aquí está el argumento:

SEGUNDO ARGUMENTO

La razón de esto en el plano es que el ángulo inscrito sostenido por un acorde es la mitad del ángulo central correspondiente. Eso se cumple porque, en el diagrama a continuación, tenemos y

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$

Restando, obtenemos

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} X_{1} C X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

imagen de geometría

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y + A (X_{2} C Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y + A (X_{1} C Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$

A (X Y Z)

$A(XYZ)$

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} C X_{2} + UNA (X_{2} C Y) - UNA (X_{1} C Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

$Y$ $X_1YX_2$ $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ $X_1X_2$ $A(XCY)$ $0$ $X$ $Y$ $X=Y$

$Y$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2$ $Y'$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$

— Peter Shor
fuente

No esperaba que esta pregunta fuera tan complicada :). esperando ansiosamente las fotos.

— Suresh Venkat