Problemas de cálculo infinitamente grandes pero localmente finitos

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Esta pregunta está inspirada en un comentario que Jukka Suomela hizo sobre otra pregunta .

¿Cuáles son ejemplos de problemas de cálculo (y algoritmos) infinitamente grandes pero localmente finitos?

En otras palabras, ¿cuáles son ejemplos de cálculos que se detienen en un tiempo finito, en el que cada máquina de Turing lee y procesa solo datos finitos, pero en conjunto el cálculo resuelve un problema de tamaño infinito si hay infinitas máquinas conectadas en red?

dc.distributed-comp

— Aaron Sterling
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Iba a comentar que esta idea parece la misma que una única TM con infinitas cintas, que pensé que había visto antes, pero ahora no puedo encontrar una referencia. ¿Estoy soñando o es una idea explorada? Ciertamente, se han estudiado otras extensiones de hipercomputación como TMs de tiempo infinito. ¿La idea de TM "networking" agrega algo a este modelo?

— Huck Bennett

@HuckBennett: no lo sé; Puede ser lo mismo. El comentario original de Jukka me dio la sensación de que estaba pensando en problemas como Graph Coloring en un gráfico infinito de grado acotado (aunque no sé si ese problema en particular sería una respuesta a esta pregunta). Cada TM correría el mismo algoritmo y hablaría con un conjunto finito de vecinos. Parece que una TM con infinitas cintas puede simular un gráfico con infinitas aristas entre dos nodos, que en principio es diferente de lo que tengo en mente. Sin embargo, sé muy poco sobre tales modelos.

— Aaron Sterling

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Solo para dar algunas ideas de lo que es posible (pero algo no trivial), aquí hay un ejemplo: un algoritmo distribuido que encuentra un empaque de borde máximo en un gráfico de grado acotado.

Definición del problema

Dado un gráfico simple no dirigido , un empaque de borde (o coincidencia fraccional) asocia un peso con cada borde tal manera que para cada nodo , el peso total de los bordes incidentes en es como máximo . Un nodo está saturado si el peso total de los bordes incidentes es igual a . Un empaque de borde es máximo si todos los bordes tienen al menos un punto final saturado (es decir, ninguno de los pesos se puede extender con avidez). $G = (V,E)$ $w(e)$ $e \in E$ $v \in V$ $v$ $1$ $1$

Observe que una coincidencia máxima define un empaquetamiento de borde máximo (conjunto iff ); por lo tanto, es fácil de resolver en un entorno centralizado clásico (suponiendo que es finito). $M \subseteq E$ $w(e) = 1$ $e \in M$ $G$

Los empaques de borde en realidad tienen algunas aplicaciones, al menos si uno define una aplicación en el sentido TCS habitual: el conjunto de nodos saturados forma una aproximación de de una cubierta de vértice mínima (por supuesto, esto solo tiene sentido en el caso de un finito ) . $2$ $G$

Modelo de computación

Asumiremos que hay una constante global tal que el grado de cualquier es como máximo . $\Delta$ $v \in V$ $\Delta$

Para mantener esto tan cerca del espíritu de la pregunta original, definamos el modelo de cálculo de la siguiente manera. Suponemos que cada nodo es una máquina de Turing, y un borde es un canal de comunicación entre y . La cinta de entrada de codifica el grado en de . Para cada , los bordes incidentes con están etiquetados (en un orden arbitrario) con los enteros $v \in V$ $\{u,v\} \in E$ $u$ $v$ $v$ $\deg(v)$ $v$ $v \in V$ $v$ ; estos se denominanetiquetas de borde locales(la etiqueta de puede ser diferente para y ). La máquina tiene instrucciones con las que puede enviar y recibir mensajes a través de cada uno de estos bordes; una máquina puede dirigirse a sus vecinos utilizando las etiquetas de borde locales. $1,2,\dotsc,\deg(v)$ $\{u,v\} \in E$ $u$ $v$

Es necesario que las máquinas de calcular una ventaja válida embalaje de . Más precisamente, cada tiene que imprimir en su cinta de salida una codificación de para cada borde incidente a , ordenada por las etiquetas de borde locales, y luego detenerse. $w$ $G$ $v \in V$ $w(e)$ $e$ $v$

Decimos que un algoritmo distribuido encuentra un empaque de borde máximo en el tiempo , si lo siguiente se cumple para cualquier gráfico de grado máximo , y para cualquier etiquetado de borde local de : si reemplazamos cada nodo de con una copia idéntica de la máquina Turing e inicie las máquinas, luego, después de pasos todas las máquinas han impreso una solución válida (globalmente consistente) y se han detenido. $A$ $T$ $G$ $\Delta$ $G$ $G$ $A$ $T$

Infinitos

Ahora todo lo anterior tiene mucho sentido incluso si el conjunto de nodos es infinitamente contable. $V$

La formulación del problema y el modelo de cálculo no tienen ninguna referencia a , directa o indirectamente. La longitud de la entrada para cada máquina de Turing está limitada por una constante. $|V|$

Lo que se sabe

El problema se puede resolver en tiempo finito incluso si es infinito. $G$

El problema no es trivial en el sentido de que es necesaria alguna comunicación. Además, el tiempo de ejecución depende de . Sin embargo, para cualquier fijo , el problema puede resolverse en tiempo constante independientemente del tamaño de ; en particular, el problema se puede resolver en gráficos infinitamente grandes. $\Delta$ $\Delta$ $G$

No he verificado cuál es el tiempo de ejecución más conocido en el modelo definido anteriormente (que no es el modelo habitual utilizado en el campo). Sin embargo, un tiempo de ejecución que es polinomial en debería ser bastante fácil de lograr, y creo que un tiempo de ejecución que es sublineal en es imposible. $\Delta$ $\Delta$

— Jukka Suomela
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Encontrar la próxima generación de un autómata celular .

Esto se puede resolver como lo describió en tiempo constante. $\;$ (es decir, independiente de la entrada)

¿Creo que se necesita más cuidado para formular un problema computacional (no trivial, interesante) que se pueda resolver en un tiempo finito usando autómatas celulares?

— Jukka Suomela

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Estoy de acuerdo con @Jukka. Considero que la versión actual de esta respuesta está al nivel de un comentario, y no informativa. No describe ni un problema computacional ni un algoritmo. Voto negativo

— Aaron Sterling

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Esencialmente, cada problema que es al menos tan difícil como la coloración requiere un algoritmo con un tiempo de ejecución que dependa del número de nodos en la red y, por lo tanto, no puede funcionar en un gráfico infinito pero localmente finito. Esto se desprende del registro seminal de Linial * n límite inferior.

— Peter
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Pero, ¿cuál es exactamente su modelo de cálculo aquí? Linial supone que todos los nodos tienen identificadores numéricos únicos; Si tratamos de mapearlo en la configuración sugerida en la pregunta original, tendríamos máquinas de Turing que reciben sus identificadores numéricos en sus cintas de entrada. Pero ahora el tamaño del identificador no tiene límites; simplemente esperar hasta que todas las máquinas hayan leído sus propios identificadores lleva infinitamente largo. Yo diría que el obstáculo no es realmente el límite inferior de Linial, sino que es el modelo de cálculo: los identificadores únicos son el modelo incorrecto cuando tratamos con infinitos.

— Jukka Suomela

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@Jukka: había imaginado un sistema en el que todos los procesadores eran anónimos cuando escribí la pregunta, exactamente para evitar las identificaciones que crecen sin límite. Pero ahora me parece que puede haber un problema no trivial aquí. Si elige un tamaño de programa y alguna función computable que limita el tamaño de la vecindad de cualquier procesador, entonces quizás el adversario todopoderoso pueda elegir un conjunto de ID grande pero finito para que el límite de Linial siga siendo un factor de alguna manera. Sin embargo, el adversario puede necesitar poder calcular una función que crece más rápido que cualquier función computable para hacerlo.

— Aaron Sterling

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Esto no se ajusta a su definición, pero creo que solo por la falta de uniformidad. Antes de mostrar la paridad no estaba en $AC^0$ , Sipser (creo que lo fue) demostró que cualquier función de paridad infinita (una función en muchas variables que cambia la salida cada vez que se cambia una sola entrada) no podría resolverse en "infinitivo $AC^0$ ".

— Joshua Grochow
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