Complejidad de comunicación con un árbitro.

Supongamos un marco en la complejidad de la comunicación donde tenemos dos jugadores A (piojos) y B (ob) y un R (árbitro). A y B no se comunican directamente entre sí. En cada ronda de comunicación, cada uno de ellos envía un mensaje ( , ) a la R. R calcula dos funciones y y les envía los resultados. Las funciones son fijas. La idea es que la comunicación entre los jugadores está restringida. Además, el árbitro podría procesar algunos mensajes. $m_A$ $m_B$ $f_A(m_A,m_B)$ $f_B(m_A,m_B)$

Ejemplo:

A y B envían dos números (arbitrarios grandes) a R, R comprueba cuál de ellos es mayor e informa a los jugadores.

En este marco, podemos diseñar un protocolo simple que calcule fácilmente la siguiente función utilizando una sola ronda. A y B envían e a R, R les devuelve la respuesta y emiten la respuesta. $x$ $y$

f (x, y) = {\begin{cases} 0 & x \leq y \\ 1 & o w \end{cases}

$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$

Obviamente, este no es un caso interesante, ya que la función que estamos calculando es la misma que las funciones del árbitro. Un caso más interesante es cuando tenemos una desigualdad lineal fija y los valores de las variables se dividen entre los jugadores (A tiene y B tiene ). La tarea es decidir si la desigualdad es correcta. El protocolo en este caso es que los jugadores calculan su parte y luego los envían al árbitro. $\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ $\vec{x}$ $\vec{y}$

Pregunta:

¿Se ha estudiado este tipo de complejidad de comunicación? En caso afirmativo, ¿dónde puedo encontrar más información sobre esto?

nota 1: en la página 49, Kushilevitz y Nisan mencionan un marco que involucra a un árbitro pero parece muy diferente de lo que estoy preguntando.

nota 2: No estoy seguro si llamar a R un árbitro es lo correcto, por favor comente si tiene una mejor sugerencia.

cc.complexity-theory reference-request communication-complexity

— Kaveh
fuente

el modelo que está mencionando se llama "Transmisión simultánea de mensajes"

— Marcos Villagra

consulte este documento ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) y sus referencias. En particular, revise los documentos de Ambainis, y Newman y Szegedy.

— Marcos Villagra

Aquí hay un artículo más reciente de Raoul Jahin ieeexplore.ieee.org/xpl/…

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: SMP es igual a la Nota 1 de Kaveh, ¿no?

— Alessandro Cosentino

@Marcos, gracias, los revisaré, pero según los resúmenes, me parece que SMP es diferente de lo que estoy describiendo. (Trataré de encontrar un mejor ejemplo para dejar en claro que los jugadores están usando R para comunicarse, lo que puede tomar varias rondas). PD: Creo que sería mejor si publicas estos comentarios como respuesta.

— Kaveh

Respuestas:

Estoy seguro de que conoce el siguiente documento, pero le puse un enlace porque otros lectores pueden estar interesados: Interpolación por juegos

Este documento es un intento de utilizar el marco de complejidad de la comunicación para mostrar los límites inferiores para cortar planos. El protocolo se utiliza para producir un circuito interpolante para CNF insatisfactorio:

A (x, y) \lor B (x, z) .

$A(x,y)\lor B(x,z).$

Jugador recibe de entrada e , el jugador obtiene y . Si hay una prueba superficial de árbol en los planos de corte, entonces los dos jugadores tienen un protocolo de comunicación tal que $A$ $a$ $y^a$ $B$ $b$ $z^b$

cualquier comunicación es mediada por el árbitro, lo que ayuda a evaluar las desigualdades en la prueba;
la cantidad de comunicación es pequeña (el árbol es poco profundo);
los dos jugadores deciden cuál de o está falsificado; $A$ $B$
encuentran una posición en la que . $i$ $a_i \not= b_i$

El árbitro se convierte en un protocolo probabilístico de desigualdades. De esta manera, es posible convertir el límite inferior para protocolos probabilísticos con forma de árbol en el marco de la complejidad de la comunicación en el límite inferior para pruebas de planos de corte con forma de árbol.

Si tuviéramos un límite inferior para el protocolo de comunicación en forma de PLS, obtendríamos un límite inferior para pruebas de planos de corte tipo dag.

Tenga en cuenta que esta técnica no depende de las reglas de inferencia reales de los planos de corte. Si asumimos que las reglas de inferencia son (1) combinación positiva (2) división entera con piso, podemos construir el circuito interpolante monótono usando el argumento de Pavel Pudlák .

— MassimoLauria
fuente

En realidad, estaba tratando de averiguar si algo más general que esto se ha estudiado en la complejidad de la comunicación, por lo que no mencioné los límites inferiores de la complejidad de la prueba y la interpolación factible para no sesgar las respuestas, pero gracias. :)

— Kaveh

Sí, eso pensé. Pero otros lectores de este foro pueden estar interesados y pueden estar interesados en probar la complejidad.

— MassimoLauria

Solo algunas observaciones. Primero, no puedo entender por qué necesitamos un árbitro. Si su función es conocida por los jugadores, ¿por qué no pueden simplemente simular al árbitro? Alice envía a Bob, él (sin ver ) calcula , luego calcula y le dice el resultado a Alice. ¿Quizás que no es conocido por Bob y por Alice? $m_A$ $m_A$ $m_B$ $f(m_A,m_B)$ $f_A$ $f_B$

En segundo lugar, los protocolos relacionados con las desigualdades lineales son de hecho interesantes en el contexto del corte de pruebas planas. En este caso, es incluso suficiente considerar protocolos, donde la forma de los mensajes es muy restringida : solo se pueden comunicar valores de algunas combinaciones lineales de variables de entrada.

Para ser un poco más precisos, supongamos que se nos da un sistema de desigualdades lineales con coeficientes enteros. Sabemos que el sistema no tiene una solución - . Las variables se dividen de alguna manera entre los jugadores (de manera cincuenta y cincuenta); Este es el escenario de "peor partición": el adversario puede elegir la "peor" partición. Dada una cadena - , el objetivo de los jugadores es encontrar una desigualdad insatisfecha. Es decir, la respuesta ahora no es un solo bit, sino el nombre de una desigualdad de nuestro sistema. (Este es un juego de comunicación tipo Karchmer-Wigderson). $0$ $1$ $0$ $1$

Ahora considere los siguientes protocolos restringidos para tal juego: (i) los árbitros funcionan si solo iff , (ii) los mensajes de los jugadores están restringidos a lineales : en cada ronda, Alice debe enviar el mensaje de la forma , y Bob el mensaje de la forma . $f(\alpha,\beta)=1$ $\alpha \leq \beta$ $m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

Impagliazzo, Pitassi y Urquhart (1994) observaron lo siguiente: si todos los coeficientes utilizados en las pruebas del plano de corte son polinomiales en el número de variables, y si este juego necesita bits de comunicación, entonces cada prueba en forma de árbol de la insatisfacción del un sistema dado debe producir desigualdades . Luego usaron límites inferiores conocidos en la complejidad de la comunicación para dar un sistema explícito que requiere pruebas de tamaño exponencial. La desventaja de este resultado es que el sistema es muy artificial , no corresponde a ningún problema de optimización "real". Por lo tanto, es una pregunta interesante proponer un límite inferior para problemas de optimización "reales". $t$ $\exp(t/\log n)$

Uno de estos problemas es el problema del conjunto independiente para gráficos. Dado un gráfico podemos asociar con cada vértice una variable y considerar el sistema de desigualdades que consiste en la desigualdad , y todas las desigualdades para todos los bordes de . Dado que cada solución - para el subsistema de estas últimas desigualdades proporciona un conjunto independiente en , el sistema completo no tiene soluciones cero-uno. ¿Cuál es la complejidad de comunicación de los juegos para tales sistemas? $G=(V,E)$ $u$ $x_u$ $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ $x_u+x_v\leq 1$ $uv$ $G$ $0$ $1$ $G$

Si nuestro gráfico es bipartito, entonces es natural (para el adversario) dividir las variables de acuerdo con sus partes. En este caso, Alice obtiene un subconjunto , Bob un subconjunto con la promesa de que . El objetivo es encontrar un borde entre y . Aquí es el "bipartito" número independencia: tamaño máximo de un conjunto independiente no situada totalmente en o en . Uno de mis problemas favoritos es: demostrar que existen gráficos que requieren bits de comunicación . $=(L\cup R,E)$ $A\subseteq L$ $B\subseteq R$ $|A\cup B|>\alpha(G)$ $A$ $B$ $\alpha(G)$ $L$ $R$ $n\times n$ $\omega(\log^2 n)$

@Kaveh: Perdón por "responder" su pregunta con preguntas.

— Stasys
fuente

Estoy más interesado en el marco general de cc que sus aplicaciones conocidas en la complejidad de la prueba. Las funciones utilizadas por el árbitro son conocidas (se arreglan como dije). Hay varias cuestiones por las que estoy interesado en este modelo, pero el punto principal es sobre cómo vamos a medir la cantidad de comunicación. Si estamos interesados en el número total de bits comunicados, entonces es posible simular el protocolo como usted dijo. Pero si queremos considerar algunas otras medidas de complejidad como el número de rondas, creo que es diferente. Por ejemplo, en un caso que se ha utilizado en

— Kaveh

prueba de complejidad cada jugador envía un número real al árbitro. Un número real puede codificar infinitos bits, por lo que si desea simular esto, tenemos que enviar un número infinito de bits, y si lo permitimos, podemos enviar toda la entrada, por lo que no resulta interesante. Pero contando el número de rondas en el marco con un árbitro, obtenemos una medida diferente que puede ser útil (como en la prueba de Pavel Pudlak).

— Kaveh

@Kaveh: Sí, es sensible a la comunicación que contamos. Pero en el marco de los planos de corte, no necesitamos preocuparnos por enviar números reales . Simplemente suponga que todos los coeficientes son enteros de tamaño binario ( es el número de variables). Incluso este caso (restringido) no está claro, cuando se quiere obtener algo para problemas de optimización "reales" (como el conjunto independiente). No me divierte llegar a límites inferiores para "problemas de monstruos". Las personas en la complejidad de la prueba suelen estar satisfechas con los "monstruos". Pero a las personas en la teoría de la optimización les gustaría ver límites inferiores "reales".

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

— Stasys

Estos son problemas secundarios, ya que dije que quiero obtener más información sobre el tipo de complejidad de comunicación que describí en la pregunta y evité intencionalmente vincularlo con pruebas de complejidad e interpolaciones. No hay nada relacionado con la complejidad de la prueba en la declaración de mi pregunta.

— Kaveh

@Kaveh: Si la función de árbitro se conoce a los jugadores, no veo la diferencia entre estos "árbitro protocolos" y "no hay árbitro protocolos" (si, como ya he dicho, los números son pequeños). La diferencia podría ocurrir si tuviéramos solo una ronda: los jugadores envían sus mensajes al árbitro y él toma una decisión final. Por cierto en el caso de jugadores, esto se conoce como "comunicación de mensajes simultáneos". Sobre "problemas de monstruos". Aquí no pienso en la complejidad del circuito, sino más bien en los problemas que enfrenta la teoría de la optimización.

k > 2

$k>2$

— Stasys