Hacer que una descomposición de árbol de ancho mínimo se apoye en tiempo polinómico

Como es bien sabido, la descomposición de un árbol de un gráfico consiste en un árbol con una bolsa asociada para cada vértice , que cumple las siguientes condiciones: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Cada vértice de se produce en alguna bolsa de . $G$ $T$
Para cada borde de hay una bolsa que contiene ambos puntos finales del borde. $G$
Para cada vértice , las bolsas que contienen inducen un subárbol conectado de . $v \in V(G)$ $v$ $T$

También podemos exigir la siguiente condición, llamada delgadez , de nuestra descomposición:

Por cada par de bolsas , de $T_a$ $T_b$ , si y con , entonces a) hay vértices disjuntos caminos en , o b) el árbol contiene un borde en el camino del nodo al nodo tal que $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ y el conjunto intersecta todos caminos en . $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas demostró que siempre hay una descomposición del árbol de ancho mínimo, que también es delgada, y varios autores han proporcionado pruebas más simples de este hecho, por ejemplo, Patrick Bellenbaum y Reinhard Diestel .

Lo que me interesa es lo siguiente: dado un gráfico y una descomposición de árbol de ancho mínimo de , ¿podemos encontrar una descomposición de árbol magro de ancho mínimo de en tiempo polinomial? $G$ $G$ $G$

Las dos pruebas mencionadas no producen una constructividad tan eficiente. En el artículo de Bellenbaum y Diestel se menciona que "se ha proporcionado otra prueba breve (más constructiva) del teorema de Thomas en P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000." Por desgracia, no he podido encontrar el manuscrito en línea y mi alemán no es tan bueno.

— Bart Jansen
fuente

Buena pregunta. Encontrar una descomposición de árbol de ancho mínimo es NP-Hard, por lo que su problema está algo mal planteado (parece). Supongo que se puede pedir esto para el caso de ancho de árbol acotado o en el sentido de aproximación.

— Chandra Chekuri

Pero en su caso, se le ha dado una descomposición de árbol de ancho mínimo y quiere un algoritmo que lo haga delgado.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Me doy cuenta de que se le da una descomposición del árbol de ancho mínimo, pero ¿cómo puede verificar que sea correcto? Además, la descomposición de un árbol magro se adapta localmente al ancho del árbol de diferentes partes del gráfico, por lo que tener una descomposición del árbol del gráfico global que sea óptima no evita el problema de encontrar el ancho del árbol de las piezas locales que es difícil.

— Chandra Chekuri

Las descomposiciones de árboles suaves (donde todas las bolsas tienen el mismo tamaño y dos bolsas adyacentes difieren exactamente por un vértice) son mucho más fáciles de manejar que las descomposiciones de árboles generales, y es fácil ver que siempre hay una descomposición de árboles de ancho mínimo que es suave . Entonces, tal vez pueda obtener una construcción eficiente al restringir una de las construcciones conocidas a estos. ¿Existe siempre una descomposición de árbol de ancho mínimo que sea suave y delgada?

— Diego de Estrada

@ChandraChekuri Supongo que el problema de verificación desaparece si lo expresas como un problema prometedor, pero veo tu punto de ver que la descomposición de un árbol no necesariamente te da suficiente información para adaptarte. Pero la siguiente pregunta podría ser plausible: ¿hay alguna forma de modificar "localmente" una descomposición de árbol dada para hacerla "magra" sin aumentar el ancho del árbol?

— Suresh Venkat

Aquí hay una razón formal por la cual el problema no puede resolverse en el tiempo múltiple a menos que P = NP. Sabemos que encontrar el ancho de árbol de un gráfico dado es NP-Hard. Dado un gráfico , podemos agregar una camarilla disjunta de tamaño para crear un nuevo gráfico . A-min anchura árbol-descomposición de se puede obtener como sigue: tiene dos nodos con una bolsa que contiene todos los nodos de la camarilla y el otro que contiene todos los nodos de . Haciendo ahora este árbol-descomposición magra requeriría encontrar una descomposición magra-árbol del gráfico original , que sería, como un subproducto, dar el treewidth de . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
fuente

Buen punto. ¿Sabe si se sabe algo sobre algoritmos de tiempo parametrizados y / o moderadamente exponenciales para encontrar descomposiciones de árbol magro?

— Bart Jansen