SERF-reducibilidad y algoritmos subexponenciales

Tengo una pregunta sobre la reducibilidad SERF de Impagliazzo, Paturi y Zane y los algoritmos subexponenciales. La definición de SERF-reducibilidad ofrece lo siguiente:

Si $P_1$ es SERF-reducible a y hay un algoritmo para para cada , entonces hay un algoritmo para para cada . (El parámetro de dureza para ambos problemas se denota por .) $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

Algunas fuentes parecen implicar que lo siguiente también es válido:

Si es SERF-reducible a y hay un algoritmo para , entonces hay un algoritmo para . $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

Mi pregunta es, ¿esta última afirmación realmente se cumple y, si es así, hay algún resumen de la prueba en alguna parte?

Como antecedentes, he estado tratando de entender el área alrededor de la Hipótesis del tiempo exponencial. IPZ define problemas subexponenciales como aquellos que tienen un algoritmo para cada , pero esto aparentemente no es suficiente a la luz del conocimiento actual para implicar la existencia de un algoritmo subexponencial para el problema . La misma brecha parece estar presente en la reducibilidad de SERF, pero en parte espero que me falte algo aquí ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— Janne H. Korhonen
fuente

EDIT: Como se ha señalado por Ryan en los comentarios, un problema puede tener un algoritmo no uniforme con el funcionamiento de tiempo para cualquier constante (el algoritmo tiene acceso a ), pero no uniforme tiempo algoritmo. $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

Como una reducción SIERVO es una familia de reducciones de Turing, uno para cada , llego a la conclusión de que sólo pueden ser utilizados para obtener algoritmos de tiempo de o tiempo algoritmos $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

El siguiente teorema es probado por Chen et al. [2009] .

Teorema 2.4 . Sea una función no decreciente y sin límites, y sea un problema parametrizado. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) puede resolverse en el tiempo para cualquier constante , donde es un polinomio; (2) puede resolverse en el tiempo $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ , donde es un polinomio. $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

Tomando obtenemos que un problema tiene un algoritmo de tiempo por cada si y solo si tiene un algoritmo de tiempo . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

Se menciona en el artículo de Chen et al. que esta equivalencia se había usado intuitivamente antes pero que estaba causando cierta confusión entre los investigadores

— Serge Gaspers
fuente

Solo una nota: hay algunas otras condiciones que deben asumirse para que su prueba funcione. Por un lado,

debe ser eficientemente computable. En segundo lugar, debe haber un único algoritmo uniforme

que logre

para cada

(piense en

como otra entrada a

). Es completamente posible que sin estas condiciones, un problema pueda satisfacer (1) pero no (2).

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Ryan Williams

Correcto. Tomando el Teorema 2.4 fuera de su contexto, estas dos condiciones se perdieron. En el documento, la nota al pie 1 da la condición en

y la segunda condición se da en el Comentario 2.

f

$f$

— Serge Gaspers

¡Esto prácticamente responde a todas mis preguntas sobre esto! Muchas gracias. Como observación interesante, si bien parece que las reducciones de SERF no preservan la existencia de algoritmos subexponenciales, parece que el Lema de Sparsificación de IPZ, de hecho, es lo suficientemente fuerte como para darnos un algoritmo

para k-SAT si hay

algoritmo.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

— Janne H. Korhonen

Una nota final en caso de que alguien tropiece con esto más tarde: aparentemente algunas fuentes usan la definición "no uniforme" del tiempo subexponencial (para todo

hay un algoritmo

) y otras usan la definición "uniforme" (hay

algoritmo.) En particular, IPZ utiliza el primero. Para este último, debe modificar la definición de reducción SERF para que el parámetro

se le dé a la reducción como entrada; comparar con el teorema anterior de Chen et al. Para más detalles, consulte, por ejemplo, el Capítulo 16 de la Teoría de la complejidad parametrizada (2006) de Flum y Grohe.

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ε

$\varepsilon$

— Janne H. Korhonen

También parece que Flum y Grohe dan una prueba del teorema en la respuesta en su libro; ver Lema 16.1.

— Janne H. Korhonen