Teorema de jerarquía para relaciones de aproximación?

Como es bien sabido, los problemas de optimización de NP-hard pueden tener muchas relaciones de aproximación diferentes, que van desde tener un PTAS hasta no ser aproximable dentro de ningún factor. En el medio, tenemos varias constantes, , , etc. $O(\log n)$ $poly(n)$

¿Qué se sabe sobre el conjunto de posibles proporciones? ¿Podemos probar algún tipo de "jerarquía de aproximación"? Formalmente, por lo que las funciones y podemos probar que existe un problema con relación aproximación ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

En el caso de que , ¿existe un problema con la relación de aproximación exactamente ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
fuente

Una prueba de tal teorema probablemente se parecería a la sabiduría.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Dado un problema con el límite de aproximación conocido

, hacemos el problema "más fácil" de alguna manera, presumiblemente usando alguna forma de relleno, para obtener un problema con el límite de aproximación

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

@TysonWilliams: Creo que se refería a que en entre los ACP y ninguna aproximación no son constantes, registro y poli (n), etc

— Suresh Venkat

α

$\alpha$

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

En cuanto a su última pregunta sobre α = O (1), el límite apretado se ha demostrado para muchos problemas, como el embalaje del contenedor, la programación de la máquina (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Respuestas:

$\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Hay muchos resultados sobre el conjunto de posibles relaciones, pasando de resultados como este:

$P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

para definir los problemas APX / NPO-PB-hard.

Algunas referencias:

EN PTAS: M. Cesati y L. Trevisan. Sobre la eficiencia de los esquemas de aproximación de tiempo polinomial, 1997.
En NPOPB: V. Kann. Límites inferiores fuertes en la aproximabilidad de algunos problemas de maximización completa de NPO PB

Pero sugiero que lo mejor será verificar el Complejo Zoo porque tiene mucha más información y referencias sobre esos ejemplos, incluso Wikipedia.

$\alpha=O(1)$

— Gopi
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Todavía creo que el comentario de Suresh debajo de la pregunta es suficiente para mostrar que cualquier relación es posible. Si no está convencido de eso, puede ver los Problemas de satisfacción de restricciones booleanas (CSP), por ejemplo.

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin y Johan Håstad, Independencia y resistencia apoyadas aleatoriamente, SIAM Journal on Computing, vol. 40, no. 1, pp. 1-27, 2011.

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— MCH
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