Teorema automatizado que prueba en lógica lineal

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¿La prueba automática de teoremas y la búsqueda de pruebas son más fáciles en lógicas subestructurales lineales y otras proposicionales que carecen de contracción?

¿Dónde puedo leer más sobre la demostración automática de teoremas en estas lógicas y el papel de la contracción en la búsqueda de pruebas?

— Anónimo
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Se pueden encontrar otros recursos referenciados en la tesis de Kaustuv Chaudhuri " El método inverso enfocado para la lógica lineal ", y es posible que le interese el " Cálculo secuencial libre de contracciones " de Roy Dyckhoff , que trata sobre la contracción pero no sobre la lógica lineal.

Hay oportunidades para la búsqueda de pruebas eficiente en lógica lineal, pero no creo que el trabajo actual indique que es más fácil que la búsqueda de pruebas en lógica no subestructural. El problema es que si desea probar en lógica lineal, tiene una pregunta adicional que no tiene en la búsqueda de prueba normal: ¿se usa para probar o para probar ? En la práctica, este "no determinismo de recursos" es un gran problema al realizar búsquedas de pruebas en lógica lineal. $C \vdash(A \otimes B)$ $C$ $A$ $C$ $B$

Según los comentarios, " Problemas de decisión para la lógica lineal proposicional " de 1990 de Lincoln et al. Es una buena referencia si desea obtener información técnica sobre palabras como "más fácil".

— Rob Simmons
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¿No es la búsqueda de pruebas en LL más difícil que IL? ISTR, la lógica proposicional clásica es NP-completa, la lógica proposicional intuicionista es PSPACE completa, y la lógica lineal intuicionista (con

) es indecidible.

! A

$!A$

— Neel Krishnaswami

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@Neel: Los exponenciales son un dispositivo para infiltrar la contracción nuevamente. Además, los conectivos aditivos se comportan internamente como si tuvieran contracción, por lo que tampoco querrá estos. Lo que te queda es MLL, que es NP-complete (a diferencia de la lógica clásica, que no es NP-complete como dijiste, sino coNP-complete). En particular, cada tautología de MLL tiene una prueba de tamaño polinomial. Sin embargo, esta prueba no es fácil de encontrar de manera determinista, como explica Rob (lo cual es bueno, ya que queremos que NP no esté en tiempo subexponencial)

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

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Ambos señalan que estaba hablando de manera informal sobre por qué la lógica lineal "no es más fácil", en un sentido formal, la búsqueda de pruebas MALL es más difícil, y la búsqueda de pruebas de lógica lineal completa es aún más difícil. La mayoría, si no todos, de los resultados a los que se referirá son de Lincoln et al en el artículo de 1990 "Problemas de decisión para la lógica lineal proposicional".

— Rob Simmons el

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@Emil: nunca me había aferrado a esa interesante diferencia entre MLL y la lógica clásica. MLL está en NP porque está testigos deben ser pequeños ... pero clásicas pruebas guientes proposiciones no necesita ser polinomio de tamaño (y supongo que no puede, en general, en

a su tamaño). ¿Cuál es el testigo polinomial de que no hay una prueba de secuencia clásica de

?

c u t

$\it cut$

A

$A$

— Rob Simmons el

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@Rob Simmons: una tarea satisfactoria para su negación.

— Kaveh

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No, solo es cada vez más difícil.

Así como el problema de decisión para la lógica proposicional intuicionista es más difícil que la lógica proposicional clásica, también lo es la lógica proposicional lineal. Con exponenciales (que no carecen de contracción) o varios sabores de conectividad no conmutativa, la lógica se vuelve indecidible e incluso el MALL clásico débil es PSPACE completo. Por el contrario, el problema de decisión para la lógica proposicional clásica es co-NP completo, y para la lógica proposicional intuicionista, PSPACE completo. (Por casualidad, no sé la complejidad de MALL intuicionista).

Recomiendo la exposición de Pat Lincoln en la sección 6 de su lógica lineal , SIGACT News 1992. Hemos aprendido un poco más desde entonces, es decir, tenemos resultados para una gran familia de lógicas lineales, pero la imagen básica está ahí.

De cierta manera, esto es lo que hace que la búsqueda de pruebas para la lógica lineal sea interesante, ya que la dureza del problema de decisión deja espacio para nociones más interesantes de cálculo, y la lógica lineal es difícil de muchas maneras diferentes. Andrej señaló a Dale Miller's An Overview of Linear Logic Programming ; este es un buen lugar para buscar, ya que Miller ha hecho más para desarrollar la idea de la búsqueda de pruebas como computación que cualquier otra persona.

— Charles Stewart
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@Kaveh: Misrecollection en lugar de error tipográfico; fijo. Debo mencionar MLL.

— Charles Stewart, el

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Suponiendo que la complejidad del problema de demostrabilidad lo satisfaría, el panorama de las complejidades de las lógicas subestructurales con y sin contracción es algo complejo. Trataré de examinar aquí lo que se conoce por lógica lineal proposicional y lógica proposicional. La respuesta breve es que la contracción a veces ayuda (por ejemplo, LLC es decidible, mientras que LL no lo es), y a veces no (por ejemplo, MALL es PSPACE-complete, MALLC es ACKERMANN-complete).

Lógica proposicional

CL: lógica clásica
IL: lógica intuicionista
LL: lógica lineal, fragmentos MLL (multiplicativo), MELL (exponencial multiplicativo), MALL (aditivo multiplicativo)
LLW: lógica afín, es decir, LL con debilitamiento, los mismos fragmentos que arriba
LLC: lógica lineal contractiva, es decir, LL con contracción, los mismos fragmentos que arriba
$_\to$ $_{\to,\wedge}$

Complejidad de demostrabilidad

NP-complete: MLL [Kan91]
co-NP-completo: CL
PSPACE-complete: IL [Sta79], MALL [Lin92]
$_\to$
TORRE-completa: MELLW, LLW [Laz14]
$_{\to,\wedge}$
$\Sigma_1^0$

$_\to$

Referencias

[Kan91] Max Kanovich, El fragmento multiplicativo de la lógica lineal es NP-complete , Research Report X-91-13, Institute for Language, Logic, and Information, 1991.
[Laz14] Ranko Lazić y Sylvain Schmitz, Complejidades no elementales para la ramificación de VASS, MELL y extensiones , manuscrito, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
[Lin92] Patrick Lincoln, John Mitchell, Andre Scedrov y Natarajan Shankar, Problemas de decisión para lógica lineal proposicional , Anales de lógica pura y aplicada 56 (1–3): 239–311, 1992. 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-B
[Sch14] Sylvain Schmitz, Implicational Relevance Logic is 2-ExpTime-complete , manuscript, 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
[Sta79] Richard Statman, La lógica proposicional intuicionista es polinomial-space complete , Theoretical Computer Science 9 (1): 67–72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
[Urq84] Alasdair Urquhart, The Undecidability of Entailment and Relelication Implication , Journal of Symbolic Logic 49 (4): 1059–1073, 1984. doi: 10.2307 / 2274261
[Urq99] Alasdair Urquhart, La Complejidad de los Procedimientos de Decisión en Relevance Logic II , Journal of Symbolic Logic 64 (4): 1774–1802, 1999. 10.2307 / 2586811

— Sylvain
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¿Quizás la descripción general de Dale Miller de la programación de lógica lineal es un buen punto de partida?

— Andrej Bauer
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