Descomponiendo una función submodular

Dada una función submodular on donde y son disjuntos . Aquí y son submodulares en y respectivamente. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Aquí son desconocidos y solo se proporciona un acceso de consulta de valor a . Entonces hay un algoritmo de polytime que encuentra . Si hay varias opciones para cualquiera de ellas debería estar bien. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Algunos pensamientos. Si podemos encontrar dos elementos modo que ambos pertenezcan a o pertenezcan a entonces podemos fusionarlos y proceder recursivamente. Pero no está claro cómo implementar tal paso. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
fuente

¿Quiere decir que

donde

son submodulares en

respectivamente?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Chandra Chekuri

Sí, de verdad quise decir eso. Gracias por señalar el error tipográfico, lo corregiré.

— Ashwinkumar BV

No estoy seguro de si lo que digo a continuación es correcto, pero aquí está la idea. Tome un elemento arbitrario

. Si

entonces

no se ve afectado por el resto de los elementos, por lo que podemos elegir

. De lo contrario, sea

un subconjunto mínimo de inclusión de

tal que

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

. Entonces parecería que

debería estar en la misma partición y, por lo tanto, podemos reducir el conjunto en un solo elemento y recurrir si es estrictamente más pequeño que

; de lo contrario, concluimos que no existe la partición deseada.

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— Chandra Chekuri

Decidió hacer el comentario en una respuesta.

— Chandra Chekuri

Tome un elemento arbitrario . Si entonces no se ve afectado por el resto de los elementos, por lo que podemos elegir y . De lo contrario, dejemos que sea un subconjunto mínimo de inclusión de tal que $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ . Entonces debe estar en la misma partición. Si llegamos a la conclusión de que no hay una partición deseada, de lo contrario, reducimos este conjunto en un solo elemento y recurrimos. $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Chandra Chekuri
fuente