(Esto comenzó como un comentario y se hizo demasiado largo).
Puede disfrutar el artículo de William Thurston sobre Prueba y Progreso en Matemáticas .
Las matemáticas en cierto sentido tienen un lenguaje común: un lenguaje de símbolos, definiciones técnicas, cálculos y lógica. Este lenguaje transmite eficientemente algunos, pero no todos, los modos de pensamiento matemático. Los matemáticos aprenden a traducir ciertas cosas casi inconscientemente de un modo mental a otro, de modo que algunas declaraciones se aclaran rápidamente. [...]
Las personas familiarizadas con las formas de hacer las cosas en un subcampo reconocen varios patrones de declaraciones o fórmulas como expresiones idiomáticas o circunlocución para ciertos conceptos o imágenes mentales. Pero para las personas que aún no están familiarizadas con lo que está sucediendo, los mismos patrones no son muy esclarecedores; a menudo son incluso engañosos. El lenguaje no está vivo excepto para quienes lo usan. [...]
Los matemáticos debemos esforzarnos mucho más en comunicar ideas matemáticas. Para lograr esto, debemos prestar mucha más atención a comunicar no solo nuestras definiciones, teoremas y pruebas, sino también nuestras formas de pensar. Necesitamos apreciar el valor de diferentes formas de pensar sobre la misma estructura matemática. Necesitamos enfocar mucha más energía en comprender y explicar la infraestructura mental básica de las matemáticas, con consecuentemente menos energía en los resultados más recientes. Esto implica desarrollar un lenguaje matemático que sea efectivo con el propósito radical de transmitir ideas a personas que aún no las conocen.
Con respecto a la pregunta original, hay documentos que no presentan ideas en el formato Definición-Teorema-Prueba (DTP). Timothy Chow tiene algunos documentos que se centran en comunicar ideas (aunque no son los primeros (o segundos) documentos sobre el tema / resultado).
- Podrías haber inventado secuencias espectrales , Timothy Chow, Notices of the AMS
- Forzando para tontos , Timothy Chow
Una posible razón para la prevalencia del formato DTP es que todos estamos acostumbrados a él a partir de libros y documentos. Los revisores (y lectores) a veces encuentran que el estilo de escritura no estándar distrae. Un término medio son los documentos que suavemente rompen al lector en un resultado. Hay documentos que presentan un caso especial o un problema simple que ilustra la idea general.
- La estructura topológica de la computabilidad asincrónica , Maurice Herlihy y Nir Shavit. El documento tiene muchas ilustraciones y demuestra la idea general de un protocolo simple antes de aplicar el teorema principal para resolver algunos problemas abiertos.
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Ninguna discusión sobre una presentación no estándar de ideas notables estaría completa sin mencionar el trabajo de Jean-Yves Girard . Único es probablemente la mejor palabra para describirlo (sin ser diplomático o sarcástico). De, el papel Lineal Logic .
La exégesis filosófica de las reglas de Heyting deja, de hecho, muy poco espacio para una discusión adicional sobre el cálculo intuicionista; pero alguien lo ha intentado seriamente? De hecho, la lógica lineal, que es una extensión clara y limpia de la lógica habitual, se puede alcanzar a través de un análisis más perspicaz de la semántica de las pruebas (no muy lejos del enfoque de la informática y, por lo tanto, relegado a la siguiente sección), o por ciertas consideraciones más o menos inmediatas sobre el cálculo posterior. Estas consideraciones tienen un significado geométrico inmediato, pero para comprenderlas, uno tiene que olvidar las intenciones, recordando, con un líder chino, que lo que importa no es el color del gato, sino el hecho de que atrapa ratones.
Más tarde:
Todavía hay personas que dicen que, para hacer informática, uno esencialmente necesita un soldador; Esta opinión es compartida por lógicos que desprecian la informática y por ingenieros que desprecian a los teóricos. Sin embargo, en los últimos años, la necesidad de un estudio lógico de la programación se ha vuelto cada vez más claro y el vínculo lógica-informática-ciencia parece irreversible. [...]
En cierto sentido, la lógica juega el mismo papel que el desempeñado por la geometría y la física: el marco geométrico impone ciertos resultados de conservación, por ejemplo, la fórmula de Stokes. Las simetrías de la lógica presumiblemente expresan una profunda conservación de la información, en una forma que aún no se ha conceptualizado correctamente.