¿Qué significaría refutar la tesis de Church-Turing?

Perdón por el título pegadizo. Quiero entender, ¿qué se debe hacer para refutar la tesis de la Iglesia-Turing? ¡En algún lugar que leí es matemáticamente imposible hacerlo! ¿Por qué?

Turing, Rosser, etc., utilizaron diferentes términos para diferenciar entre: "lo que se puede calcular" y "lo que se puede calcular mediante una máquina de Turing".

La definición de Turing de 1939 con respecto a esto es: "Usaremos la expresión" función computable "para referirnos a una función calculable por una máquina, y dejamos que" efectivamente calculable "se refiera a la idea intuitiva sin identificación particular con ninguna de estas definiciones".

Entonces, la tesis de Church-Turing se puede enunciar de la siguiente manera: cada función efectivamente calculable es una función computable.

Entonces, de nuevo, ¿cómo se verá la prueba si uno refuta esta conjetura?

La tesis de Church-Turing ha sido probada para todos los propósitos prácticos.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz y Gurevich, Boletín de lógica simbólica, 2008.

(Esta referencia discute la historia del trabajo de Church y Turing, y argumenta a favor de una separación entre la "Tesis de Church" y la "Tesis de Turing" como afirmaciones lógicas distintas, luego las prueba a ambas, dentro de una axiomatización intuitiva de la computabilidad).

Hay un punto sutil que rara vez veo mencionado en este tipo de discusiones y que creo que merece más atención.

Supongamos, como sugiere Andrej, que alguien construye un dispositivo que computa de manera confiable una función que ninguna máquina de Turing puede calcular. ¿Cómo sabríamos que la máquina en realidad está calculando ?f$f$$f$

Obviamente, ningún número finito de valores de entrada / salida sería suficiente para demostrar que la máquina está calculando en lugar de alguna otra función computable de Turing que concuerde con en ese conjunto finito. Por lo tanto, nuestra creencia de que la máquina está computando debería basarse en nuestras teorías físicas de cómo está funcionando la máquina. Si observa algunas de las propuestas concretas para hipercomputadoras, encontrará que, efectivamente, lo que hacen es llevar una teoría física de vanguardia y extrapolar esa teoría al infinito.f $f$$f$$f$. Bien, bien, pero ahora supongamos que construimos el hipercomputador y le preguntamos si alguna vez se detendrá una máquina Turing que busca una contradicción en ZFC. Supongamos además que el hipercomputador responde "No". ¿Qué concluimos? ¿Llegamos a la conclusión de que el hipercomputador ha "calculado" la consistencia de ZFC? ¿Cómo podemos descartar la posibilidad de que ZFC sea realmente inconsistente y acabamos de realizar un experimento que ha falsificado nuestra teoría física?

Una característica crucial de la definición de Turing es que sus supuestos filosóficos son muy débiles. Asume, como debe ser, ciertas características simples de nuestra experiencia cotidiana, como la estabilidad básica del mundo físico y la capacidad de realizar operaciones finitas de manera confiable, repetible y verificable. Estas cosas todo el mundo acepta (¡fuera de un aula de filosofía, eso es!). La aceptación de un hipercomputador, sin embargo, parece requerir que aceptemos una extrapolación infinita.de una teoría física, y toda nuestra experiencia con la física nos ha enseñado a no ser dogmáticos sobre la validez de una teoría en un régimen que está mucho más allá de lo que podemos verificar experimentalmente. Por esta razón, me parece altamente improbable que se desarrolle algún tipo de consenso abrumador de que cualquier hipercomputador específico sea simplemente computación en lugar de hipercomputación , es decir, que haga algo que pueda llamarse "computación" solo si acepta alguna controversia filosófica o controvertida. supuestos físicos sobre extrapolaciones infinitas.

Otra forma de decirlo es que refutar la tesis de Church-Turing requeriría no solo construir el dispositivo que Andrej describe, sino también demostrar a satisfacción de todos que el dispositivo está funcionando como se anuncia. Si bien no es inconcebible, esta es una tarea difícil. Para las computadoras de hoy, la naturaleza finitaria de la computación significa que si no creo en el resultado de la "computación" de una computadora en particular, en principio puedo llevar a cabo una secuencia finita de pasos de una manera totalmente diferente para verificar el resultado. Este tipo de "respaldo" al sentido común y la verificación finita no está disponible si tenemos dudas sobre un hipercomputador.

Si bien parece bastante difícil probar la tesis de la Iglesia-Turing debido a la naturaleza informal de la "función efectivamente calculable", podemos imaginar lo que significaría refutarla. Es decir, si alguien construye un dispositivo que (de manera confiable) calculó una función que no puede ser calculada por ninguna máquina de Turing, eso refutaría la tesis de Church-Turing porque establecería la existencia de una función efectivamente calculable que no es computable por una máquina de Turing.

Desaprobar la tesis de la Iglesia-Turing parece realmente extremadamente improbable y conceptualmente muy difícil de imaginar. Hay varios "mundos físicos hipotéticos" que están en cierta tensión con la tesis de la Iglesia-Turing (pero si la contradicen es una pregunta filosófica interesante por sí misma). Un artículo de Pitowsky " La tesis de la iglesia física y la complejidad física computacional", Iyun 39, 81-99 (1990) trata sobre estos mundos físicos hipotéticos. Véase también el documento de Itamar Pitowsky y Oron Shagrir: " The Church-Turing Thesis and Hyper Computation ", Minds and Machines 13, 87-101 (2003). Oron Shagrir ha escrito varios artículos filosóficos sobre la tesis de Church-Turing en su página web . (Ver también esta publicación de blog ).

La tesis efectiva o eficiente de Church-Turing es una afirmación infinitamente más fuerte que la afirmación original de Church-Turing que afirma que cada computación posible puede ser simulada de manera eficiente por una máquina de Turing. Las computadoras cuánticas demostrarán que la tesis eficiente de Church-Turing es inválida (módulo de algunas conjeturas matemáticas de complejidad computacional y módulo de la "interpretación asintótica"). Creo que la conjetura eficiente de Church-Turing fue formulada por primera vez en 1985 por Wolfram, el artículo se cita en el documento de Pitowsky vinculado anteriormente. De hecho, ni siquiera necesita computadoras cuánticas universales para refutar la tesis de CT eficiente, y es una línea de investigación interesante (que Aaronson, entre otros estudios) propone proponer una demostración tan simple como sea posible de la superioridad computacional de los sistemas cuánticos.

También es un problema interesante si hay formas más simples de demostrar la superioridad computacional de las computadoras cuánticas en presencia de ruido, en lugar de tener una tolerancia a fallas cuánticas total (que permite el cálculo cuántico universal). (Scott A. también está interesado en este problema).

Según tengo entendido, la "imposibilidad" de probar o refutar la tesis es que no existe una definición formal de "efectivamente calculable". Hoy, consideramos que es precisamente "computable por una máquina de Turing", pero eso plantea la pregunta.

Se han estudiado modelos de cómputo que son estrictamente más potentes que una máquina de Turing. Consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation para ver algunos ejemplos. O simplemente tome una máquina Turing con un oráculo para el problema de detención de las máquinas Turing. Tal máquina tendrá su propio problema de detención, pero puede resolver el problema de detención original perfectamente. Por supuesto, no tenemos tal oráculo, pero no hay nada matemáticamente imposible sobre la idea.

Las pruebas de hipercomputación generalmente asumen la validez del límite de Bekenstein, que establece un límite particular en la cantidad de información que puede contener una cantidad finita de espacio. Existe controversia sobre este límite, pero creo que la mayoría de los físicos lo aceptan.

Si el límite de Bekenstein se viola gravemente, y no hay límite en la cantidad de información contenida en una región en particular (por ejemplo, un agujero negro o un grabado infinitamente fino y robusto), y existen mecanismos arbitrariamente refinables para examinar el contenido de ese región (digamos, al examinar cuidadosamente la radiación emitida cuando un objeto cuidadosamente construido cae en el agujero negro, o al pasar un lápiz sobre los surcos del grabado), se puede suponer que ya existe un artefacto que codifica un oráculo que se detiene. .

Todo es muy poco probable, pero muestra que la afirmación de que la hipercomputación es imposible no es una verdad matemática, sino que se basa en la física. Es decir que Andrej tiene razón cuando dice que podemos imaginar lo que significaría refutar [la tesis de Church-Turing]. Es decir, si alguien construyó un dispositivo que (de manera confiable) calculó una función que ninguna máquina de Turing no puede calcular .

Con respecto a la Tesis Extendida de Turing de la Iglesia (que significa "Una máquina de Turing probabilística puede simular eficientemente cualquier función físicamente computable"):

Una posibilidad es la diferencia entre las computadoras clásicas y cuánticas. Específicamente la pregunta, "¿Hay una tarea que las computadoras cuánticas pueden realizar que las computadoras clásicas no pueden hacer?" Un informe reciente de ECCC de Scott Aaronson (ver Conjetura 9 en la página 5) destaca una conjetura que, si se prueba, proporcionaría evidencia sólida contra la Tesis Extendida de Turing de la Iglesia.

Si uno refutara la Tesis Extendida de Turing de la Iglesia, podría verse así, específicamente, al demostrar una tarea eficientemente computable que una máquina de Turing (clásica) no puede calcular eficientemente.

Un nuevo artículo presentado en DCM2011 : una formalización y prueba de la tesis extendida de Turing de la Iglesia (Nachum Dershowitz y Evgenia Falkovich)

Los siguientes documentos de Selim Akl pueden ser de interés y relevantes para la discusión:

Akl, SG, "Tres contraejemplos para disipar el mito de la computadora universal", Parallel Processing Letters, vol. 16, núm. 3, septiembre de 2006, págs. 381 - 403.

Akl, SG, "Incluso las máquinas de aceleración no son universales", International Journal of Unconventional Computing, vol. 3, núm. 2, 2007, págs. 105 - 121.

Nagy, M. y Akl, SG, "El paralelismo en el procesamiento de información cuántica derrota a la computadora universal", Cartas de procesamiento paralelo, número especial sobre problemas computacionales no convencionales, vol. 17, núm. 3, septiembre de 2007, págs. 233 - 262.

Aquí está el resumen del primero:

Se muestra que el concepto de computadora universal no puede realizarse. Específicamente, se exhiben instancias de una función computable F que no se puede calcular en ninguna máquina U que sea capaz de realizar solo un número finito y fijo de operaciones por paso. Esto sigue siendo cierto incluso si la máquina U está dotada de una memoria infinita y la capacidad de comunicarse con el mundo exterior mientras intenta calcular F. También es cierto si, además, U tiene una cantidad de tiempo indefinida para calcular F. Este resultado se aplica no solo a los modelos de computación idealizados, como la Máquina de Turing y similares, sino también a todas las computadoras de uso general conocidas, incluidas las computadoras convencionales existentes (tanto secuenciales como paralelas), así como a las no convencionales contempladas como como computadoras biológicas y cuánticas.

¿Cómo puede ser verdad? Una computadora clásica no puede simular eficientemente una computadora cuántica. Existen algoritmos cuánticos que proporcionan una velocidad exponencial sobre las computadoras clásicas que ejecutan algoritmos clásicos: el algoritmo de Shor es uno.