¿Qué problemas de

La famosa Imagen del mundo de Neil Immerman es la siguiente (haga clic para ampliar):

Su clase "Verdaderamente factible" no incluye ninguna otra clase; mi pregunta es entonces:

¿Qué es un problema de AC ⁰ que se considera poco práctico y por qué?

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Michaël Cadilhac
fuente

¿Quizás un problema que requiere circuitos de profundidad 10 ^ {10 ^ 100}?

— Tsuyoshi Ito

@Ross: No lo creo porque no mencionó "mundo real" y preguntó "por qué"; Creo que mi comentario anterior responde al menos a la parte "por qué". Sin embargo, es cierto que no tengo un ejemplo de problemas "naturales" que están en AC0 y requieren circuitos de profundidad 10 ^ {10 ^ 100}.

— Tsuyoshi Ito

Existen numerosos problemas interesantes del mundo real que podrían resolverse en un tiempo constante y en un espacio constante (en prácticamente cualquier modelo de computación), sin embargo, las personas ahora tienen idea de cómo resolverlos en la práctica. Ejemplos extremos son el cálculo de ciertas constantes; podríamos codificar la respuesta correcta (por ejemplo, 0 o 1), pero aún no sabemos la respuesta.

— Jukka Suomela

Jukka: esas son instancias problemáticas. Las ecuaciones de diofantina (como la de Fermat) son indecidibles como clase, incluso si las instancias individuales que hemos decidido tienen circuitos de profundidad constante.

— András Salamon

@ András: Si prefiere problemas de decisión con infinidad de instancias de "sí" y "no": deje que

consista en todos los números pares

, donde

si el jugador blanco tiene una estrategia ganadora en el ajedrez y de lo contrario

. Trivialmente, existe una familia muy simple de circuitos que decide

, pero todavía afirmaría que es "poco práctico". No porque el circuito sería enorme, sino porque diseñar el circuito sería un gran esfuerzo computacional ... ¿

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$

x = 3

$x = 3$

L

$L$

— Hacer

Respuestas:

Si desea un ejemplo de una función AC ⁰ que requiere profundidad , y no puede ser calculada por circuitos AC ⁰ de profundidad , pruebe las funciones Sipser . El superíndice es la profundidad necesaria para un circuito AC ^{0 de} tamaño polinómico . Con la profundidad , el circuito necesitaría exponencialmente muchas puertas. $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ $d$ $d-1$

Por lo tanto, calcular para no sería "realmente factible". $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$

EDITAR: Su pregunta también pregunta por qué esto no sería factible. Supongo que la razón es que es más que el número de átomos en el universo visible. $10^{10^{100}}$

— Robin Kothari
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¡Eso es genial, Gracias! ¿Quizás pueda agregar una definición informal de las funciones Sipser? No sabía sobre ese nombre.

— Michaël Cadilhac

@ Michaël: Desafortunadamente no tengo una buena definición intuitiva para las funciones Sipser. La idea es hacer una función de cuantificadores d de manera que ningún circuito d-1 de profundidad pueda calcularlo. Por lo tanto, queremos que los cuantificadores d cuantifiquen sobre un gran número de variables. Hay un buen artículo de Iddo Tzameret, titulado "Separación de Håstad de circuitos de profundidad constante utilizando funciones Sipser" ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) que define formalmente las funciones en la página 7.

— Robin Kothari

Toda esta jerarquía es intencionalmente robusta bajo cambios polinómicos del tamaño de entrada. Por lo tanto, cualquier clase puede contener funciones cuya complejidad es, digamos, n ^ {1000000000} que sería teóricamente "factible", pero ciertamente no prácticamente. Sin embargo, estos probablemente serán problemas muy artificiales. En particular, mediante un argumento de conteo existe una familia de fórmulas DNF (= AC ^ 0 profundidad 2 circuitos) de tamaño n ^ 1000000 que ningún algoritmo cuyo tiempo de ejecución es menor que n ^ 999999 puede calcular. (En un entorno uniforme, esperamos algo similar pero no podemos probarlo).

— Noam
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El problema de detención cuando la entrada está representada en unario está en AC ^ 0 y, sin embargo, es bastante inviable en realidad. No estoy seguro de que esto sea lo que quisiste decir, pero podría ser lo que quería decir Immerman.

— Elad
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¿Supongo que las clases en el diagrama están definidas con alguna noción de uniformidad? De lo contrario, la dirección hacia arriba no representaría la contención, ya que P no contiene AC ^ 0 no uniforme.

— Robin Kothari

A C^{0}

$AC^0$

{0, 1}

$\{0,1\}$

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$

X

$X$

Punto bien tomado. Como alternativa, siguiendo a Erdos, uno podría sugerir el problema de que, para cualquier entrada, genera el número de Ramsey para el seis rojo y el seis azul.

— Elad