Pruebas cuánticas de teoremas clásicos.

Estoy interesado en ejemplos de problemas en los que un teorema que aparentemente no tiene nada que ver con la mecánica / información cuántica (por ejemplo, afirma algo sobre objetos puramente clásicos), sin embargo, puede probarse utilizando herramientas cuánticas. Una encuesta de Quantum Proofs for Classical Theorems (A. Drucker, R. Wolf) da una buena lista de tales problemas, pero seguramente hay muchos más.

Particularmente interesantes serían los ejemplos en los que una prueba cuántica no solo es posible, sino también "más esclarecedora", en analogía con el análisis real y complejo, donde poner un problema real en el entorno complejo a menudo lo hace más natural (por ejemplo, la geometría es más simple ya que está cerrado algebraicamente, etc.); en otras palabras, problemas clásicos para los cuales el mundo cuántico es su "hábitat natural".$\mathbb{C}$

(No estoy definiendo "cuantidad" aquí en ningún sentido preciso y se podría argumentar que todos estos argumentos eventualmente se reducen a álgebra lineal; bueno, también se puede traducir cualquier argumento usando números complejos para usar solo pares de reales, pero qué ?)

Hay un artículo reciente de Scott Aaronson que proporciona una nueva prueba de que el permanente es # P-hard. Esta prueba se basa en el modelo de computación cuántica lineal-óptica y es más intuitiva que la de Leslie Valiant.

En mi opinión, me gusta el siguiente artículo:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha. Pruebas eficientes de grupos. En STOC'05.

Aquí definen un probador "clásico" para grupos abelianos. Sin embargo, primero comienzan dando un probador cuántico, y luego continúan eliminando todas las partes cuánticas.

Lo que me gusta de este artículo es que usan el probador cuántico para ganar intuición y lo usan para abordar el problema. Puede parecer un enfoque más difícil (comenzar desde lo cuántico y lo clásico), pero los autores son investigadores bien conocidos en computación cuántica. Entonces, tal vez para ellos es más fácil comenzar con eso.

Diría que su principal contribución técnica es un probador de homomorfismo, que utilizan para eliminar las partes cuánticas.

Dos resultados muy recientes e interesantes:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary y Ronald de Wolf demostraron que "no existe ningún programa lineal (LP) de tamaño polinómico cuyo politopo asociado se proyecte al politopo vendedor ambulante, incluso si no se requiere que el LP sea simétrico "(citado del resumen).
  Utilizan la complejidad de la comunicación cuántica como herramienta. Vea su artículo y la publicación del blog de Gil Kalai . Observe también el comentario de Dave debajo de la publicación de Gil Kalai. Todavía no he leído el periódico, así que no puedo comentarme sobre dónde y cómo se usan las cosas cuánticas.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel y Robin Kothari utilizaron la complejidad de la consulta cuántica para probar los límites inferiores para una medida muy clásica, que es el recuento de funciones de la fórmula, como PARITY. Ver su papel .

Como los permanentes dan las amplitudes de probabilidad de los resultados de medición de los bosones después de que interfieren en un interferómetro lineal, Scheel obtuvo una prueba simple "cuántica" de que el valor absoluto del permanente de cualquier matriz unitaria es 1 ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 ).

• ver también la informática clásica abarca las ideas cuánticas, una especie de visión general / encuesta de ciencia semi-pop de este fenómeno de dicotomía clásica / cuántica por Wolchover escribiendo para el instituto Simons con algunos ejemplos y leads / referencias.

En los últimos años, las ideas cuánticas han ayudado a los investigadores a demostrar la seguridad de los prometedores esquemas de cifrado de datos llamados criptosistemas basados ​​en redes, algunas de las cuales pueden ocultar la información confidencial de los usuarios, como el ADN, incluso de las empresas que lo procesan. Una prueba de computación cuántica también condujo a una fórmula para la longitud mínima de los códigos de corrección de errores, que son salvaguardas contra la corrupción de datos.

Las ideas cuánticas también han inspirado una serie de importantes resultados teóricos, como la refutación de un algoritmo antiguo y erróneo que afirmaba resolver de manera eficiente el famoso problema del vendedor ambulante difícil, que pregunta cómo encontrar la ruta más rápida a través de varias ciudades.

• otro ejemplo reciente que es similar a la dirección de investigación de las pruebas naturales de Razborov / Rudich (que relaciona las separaciones de clase de complejidad con la generación de generadores de números aleatorios)

Un límite inferior cuántico para distinguir funciones aleatorias de permutaciones aleatorias Henry Yuen

El problema de distinguir entre una función aleatoria y una permutación aleatoria en un dominio de tamaño N es importante en la criptografía teórica, donde la seguridad de muchas primitivas depende de la dureza del problema. Estudiamos la complejidad de la consulta cuántica de este problema ...