Inaproximidad de la cubierta del conjunto: ¿puedo suponer m = poli (n)?

Estoy tratando de mostrar que un cierto problema no es posible por una reducción de la cobertura establecida. Mi reducción transforma una instancia con conjuntos de tierra de conjuntos de tamaño $n$ y $m$ en una instancia de mi problema donde un determinado parámetro $r$ es de tamaño $O(n+m)$ . Entonces puedo mostrar que una instancia de la cubierta del conjunto donde el tamaño de la cubierta es s corresponde a una instancia de mi problema donde el tamaño de la solución óptima es $2s$ (o algo así), y viceversa. Me gustaría invocar a Raz-Safra para concluir que mi problema es inabordable hasta un factor de $c \log{r}$ , por alguna constante $c$ . Esto funcionaría bien si pudiera suponer que $m$ está delimitada por un polinomio fijo de $n$ . ¿Alguien sabe si es kosher asumir esto? Esto es ciertamente cierto para la familia de instancias utilizadas en la prueba de dureza NP estándar para la cobertura del conjunto, pero no estoy seguro de si este sigue siendo el caso para el tipo de reducciones de PCP empleadas por Raz y Safra.

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Edith Elkind
fuente

Sí, el número de conjuntos m en una instancia de cubierta de conjunto es polinomial en el número de elementos.

Por cierto, los resultados de dureza de última generación para Set-Cover son:

Con Noga Alon y Muli Safra, mostramos cómo usar el PCP Raz-Safra / Arora-Sudan para obtener una mejor constante $c$ en el factor de dureza $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
$(1-\epsilon)\ln n$ $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
Recientemente publiqué una nota sobre cómo adaptar la reducción de Feige a un resultado de dureza NP (es decir, un resultado basado en ), asumiendo una conjetura plausible sobre PCP (una conjetura que llamo "La Conjetura de los Juegos de Proyección" - una especialización de la "Conjetura de escala móvil" de 1993 a los juegos de proyección). $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (más tarde descubrí que la reducción ofrece una compensación óptima entre y la reducción de la reducción). $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
fuente

¿Cuál es el supuesto de separación más débil que aún producirá una dureza ?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat

Dana, gracias por tu respuesta! Una pregunta de seguimiento, si no le importa: ¿es esta una pregunta "estúpida"? ¿Prueba de dureza Raz-Safra para responder mi pregunta?

— Edith Elkind

@Suresh: supongo que te refieres a . La suposición de Feige ( ) y mi suposición ("La conjetura de los juegos de proyección") son incomparables. Creo que mi suposición se demostraría en el futuro previsible.

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

— Dana Moshkovitz

@lostinjungle: Si m no hubiera sido polinomial en n, no podrías haber considerado la reducción como una "reducción de tiempo múltiple". La razón particular de que un PCP Raz-Safra / Arora-Sudán rinda m = poli (n) es que hay un conjunto por una variable / restricción PCP + y asignación a ellos, y el número de variables y restricciones, así como el El tamaño del alfabeto es polinómico y el número de consultas es constante.

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: ¡Gracias! Sin embargo, no estoy seguro de entender tu primer reclamo. ¿Qué hay de malo con la siguiente reducción (hipotética)? Comienzo con una instancia de (por ejemplo) cubierta de vértices con vértices y creo una instancia de cubierta de conjunto con conjuntos y conjunto de tierra de tamaño , donde es la solución a ? Esto definitivamente funciona en poly-time. Es cierto que nunca he visto una reducción como esta, pero no parece lógicamente imposible. ¿O estoy equivocado? Por supuesto, mi pregunta original ya ha sido respondida, así que siéntase libre de ignorar esta. Solo tengo curiosidad ...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— Edith Elkind