¿Hay separaciones naturales en la jerarquía de tiempo no determinista?

El teorema original de la jerarquía del tiempo no determinista se debe a Cook (el enlace es a S. Cook, una jerarquía para la complejidad del tiempo no determinista , JCSS 7 343–353, 1973). El teorema establece que para cualquier número real y , si entonces NTIME ( ) está estrictamente contenido en NTIME ( ).$r_1$$r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

Una parte clave de la prueba utiliza la diagonalización (no especificada) para construir un lenguaje de separación de los elementos de la clase más pequeña. No solo se trata de un argumento no constructivo, sino que los lenguajes obtenidos por la diagonalización generalmente no proporcionan una visión más que la separación en sí misma.

Si queremos entender la estructura de la jerarquía NTIME, la siguiente pregunta probablemente deba responderse:

¿Existe un lenguaje natural en NTIME ( ) pero no en NTIME ( )?$n^{k+1}$$n^k$

Un candidato podría ser el SAT AISLADO en k , que requiere encontrar una solución para una fórmula CNF sin otras soluciones dentro de la distancia k de Hamming. Sin embargo, lo que demuestra el límite inferior parece que es complicado, como de costumbre. Es obvio que verificar una bola k de Hamming está libre de posibles soluciones "debería" requerir que se verifiquen diferentes asignaciones, pero esto no es fácil de probar . (Nota: Ryan Williams señala que este límite inferior para -SAT SATISADO en realidad probaría P ≠ NP, por lo que este problema no parece ser el candidato adecuado).$\Omega(n^k)$$k$

Tenga en cuenta que el teorema se mantiene incondicionalmente, independientemente de las separaciones no probadas como P vs. NP. Por lo tanto, una respuesta afirmativa a esta pregunta no resolvería P vs. NP, a menos que tenga propiedades adicionales como -SISOLATED SAT arriba. $k$ Una separación natural de NTIME quizás ayudaría a iluminar parte del comportamiento "difícil" de NP, la parte que deriva su dificultad de una secuencia ascendente infinita de dureza.

Como los límites inferiores son difíciles, aceptaré como respuesta los lenguajes naturales para los cuales podemos tener una buena razón para creer un límite inferior, aunque todavía no haya una prueba. Por ejemplo, si esta pregunta hubiera sido sobre DTIME, habría aceptado -CLIQUE, para una función no decreciente , como un lenguaje natural que probablemente proporciona el requerido separaciones, basadas en los límites inferiores del circuito de Razborov y Rossman y la -proximabilidad de CLIQUE.$f(k)$$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(Editado para abordar el comentario de Kaveh y la respuesta de Ryan).

Hasta donde yo sé, no conocemos tales idiomas, o si lo sabemos, existe una gran controversia sobre la "naturalidad" de ellos. Sé que esto no es realmente una respuesta satisfactoria, pero puedo decir:

(a) Si demuestra un límite inferior de tiempo para el SAT AISLADO en para cada , entonces realmente ha demostrado .$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(b) Una forma en que puede esperar demostrar que el SAT K-AISLADO es uno de estos problemas naturales en es mostrar que el problema del SAT k-ISOLATED es difícil (en el sentido habitual y formal de tener reducciones eficientes) para . De hecho, esta es la única forma en que sabemos cómo probar tales resultados. Pero el SAT k-AISLADO probablemente no sea difícil en este sentido, hay algunas consecuencias muy poco probables.$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

La razón principal es que las instancias SAT k-AISLADAS se pueden resolver en , independientemente de . Puede adivinar existencialmente la asignación aislada, luego verificar universalmente (para todas las formas para voltear hasta bits en la asignación) las otras tareas "locales" funcionan.$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

Aquí está la prueba de la parte (a). Sea SAT AISLADO la versión del problema con dada como parte de la entrada (en unario, por ejemplo). Supongamos que demostramos que SAT AISLADO requiere tiempo para todo . Si , entonces está en para alguna fija (la prueba utiliza una versión eficiente del teorema de Cook: si hay un algoritmo SAT funcionando en el tiempo , entonces cualquier suficiente). Pero probamos que hay un lenguaje en que no está en por cada$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$. Esto es una contradicción, entonces .$P \neq NP$

Aquí está la prueba de la parte (b). Si cada podría reducirse de manera eficiente a una fórmula SAT k-aislado (por ejemplo, todos los casos bits de quedan reducidos a fórmulas -isolated SAT de como máximo tamaño) luego . Esto implicaría inmediatamente , pero además parece muy poco probable que todo se pueda simular de manera tan eficiente dentro de la jerarquía polinómica.$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$