Codificación rápida de vectores balanceados

Es fácil ver que para cualquier existe un mapeo 1-1 de {0,1} a {0,1} tal que para cualquier el vector está "equilibrado", es decir, tiene el mismo número de 1s y 0s. ¿Es posible definir tal para que dada podamos calcular eficiente? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

Gracias.

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
fuente

Supongo que por 'eficiente' te refieres a O (n) o por ahí, descartando el argumento de "ensayos aleatorios repetidos".

— Suresh Venkat

@Suresh, ¿sería capaz de esbozar el argumento de "ensayos aleatorios repetidos"?

— Emil

Una forma de demostrar que el mapeo existe es mediante el método probabilístico: seleccione F al azar, y luego el mapeo funciona con cierta probabilidad. a eso me refería.

— Suresh Venkat

La pregunta está perfectamente bien definida pero, en mi opinión, el título es engañoso. No llamaría a un mapeo F que satisfaga la condición establecida una "codificación de vectores balanceados" a menos que F sea biyectivo. Es más como una codificación de una cadena de n bits por un vector equilibrado.

— Tsuyoshi Ito

"Perfectamente bien definido" hasta interpretaciones posiblemente diferentes de "eficientemente", quiero decir. Pero este no es el punto de mi comentario anterior.

— Tsuyoshi Ito

Respuestas:

Consideremos las cadenas de bits . Definiciones: $n$ $x$

$f(x,i)$ = cadena de bits con los últimos bits complementados. $x$ $i$
$b(x)$ = "desequilibrio" de : número de 1s en número de 0s en . $x$ $x$ $-$ $x$

Ahora arregla una cadena . Considere la función . Observaciones: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

$g(0) = b(x)$ .
$g(n) = -g(0)$ .
$|g(i) - g(i+1)| = 2$ para todo . Eliminamos un 0 y agregamos un 1 o viceversa. $i$

Ahora se deduce que existe un tal que . $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

Por lo tanto, podemos construir una cadena de bits siguiente manera: concatenar y la codificación binaria del índice . El valor absoluto del desequilibrio de es . Además, podemos recuperar dado ; El mapeo es biyección. $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

Finalmente, puede agregar bits ficticios que reducen el desequilibrio de de a . $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
fuente

b (x) en la tercera línea debe ser b (y).

— Emil

Creo que posiblemente deba agregar otro bit a la cadena x para asegurarse de que tenga una longitud uniforme (de modo que pueda estar seguro de que g (i) es cero para algunos i).

— Emil

@Emil: No afirmo que sea cero para algunos ; es suficiente que el valor absoluto de sea "bastante pequeño" para algunos (como mucho logarítmico sería suficiente, pero es fácil demostrar que será como máximo para algunos ).

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela

@ Jukka: Ah, sí, ya veo.

— Emil

Pero sí, tiene razón, hay muchas variantes del mismo enfoque básico. Por ejemplo, como sugirió, primero puede usar un bit de relleno para asegurarse de que

sea igual a cero para algunos

; entonces puede codificar

utilizando los pares de bits

, es decir,

bits adicionales; entonces el resultado de la concatenación está estrictamente equilibrado y no necesita agregar nada más.

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela

Use el mapeo que preserva el orden lexicográfico. Para encontrar el -ésimo vector equilibrado de longitud con 1's, hágalo recursivamente: si $k$ $n$ $n/2$ , luego establezca el primer bit 0 y luego encuentre el-ésimovector delongitudcon1 para completar losbitsrestantes. De lo contrario, establezca el primer bit 1 y encuentre el-th length-con1's. $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
fuente

Y si reutiliza el valor de un coeficiente binomial para calcular el siguiente coeficiente binomial requerido, todo el algoritmo se ejecuta en tiempo O (n).

— Tsuyoshi Ito

¡Gracias! Esto tiene sentido. Supongo que el tiempo de ejecución dependerá del modelo computacional. Si puede realizar operaciones con números de n bits en unidad de tiempo, la implementación de Tsuyoshi Ito se ejecutará en tiempo O (n). Por otro lado, si cuenta las operaciones de bit, creo que el tiempo será O (n ^ 2).

— Piotr