Densidad de lenguajes P-completos

Supongamos que es un lenguaje booleano, de cadenas finitas sobre . Sea el número de cadenas en con longitud . Para una función desde los enteros positivos hasta los números reales positivos, tiene una densidad superior si para todos los suficientemente grandes . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

¿Alguno de los lenguajes booleanos P-completos tienen una densidad superior ? $O(1/n)$

Motivación

PARIDAD tiene una densidad superior . SÍ (el lenguaje de todas las cadenas binarias finitas) tiene una densidad superior 1. Cualquier lenguaje finito tiene una densidad superior 0. $1/2$
Un lenguaje escaso tiene la propiedad de que hay un polinomio tal que para todo . Si es un lenguaje escaso, entonces para un polinomio de grado uno mayor que el de , entonces la densidad superior de es cero. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai y D. Sivakumar mostraron que un lenguaje P completo no puede ser escaso a menos que P = L (= ESPACIO DE REGISTRO). Como P = co-P, cualquier lenguaje cuyo complemento es escaso tampoco puede ser P-completo, a menos que P = L.
Por una simple desigualdad (véase, por ejemplo, el Corolario 2 de Rosser y Schoenfeld 1962 ), PRIMES tiene una densidad superior . Pregunta ¿Se sabe que los problemas PRIMES, FACTORING son P-hard? discute si PRIMES es P-hard (esto parece estar abierto actualmente). $(\log_2 e)/n$
En cierto sentido, los lenguajes completos (o universales) para una clase de complejidad contienen toda la estructura de la clase. Entonces, mi hipótesis tentativa, basada en una extrapolación salvaje del resultado de Cai y Sivakumar, sería que tales lenguajes no pueden ser demasiado escasos. El límite polinómico habitual que define los idiomas dispersos parece demasiado restrictivo, por lo que le pregunto acerca de un límite que sea un poco menos restrictivo.

El trabajo sobre la humildad de Fortnow, Hemaspaandra y otros también está posiblemente relacionado.

$k$

Agradecimientos

Véase también la pregunta relacionada Densidad condicional de primos . Gracias a @Tsuyoshi Ito y @Kaveh por sus útiles comentarios sobre una versión anterior de esta pregunta, que lamentablemente fue mal planteada.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
fuente

2^{n} / n

$2^n/n$

$1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
fuente

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

Creo que sí, solo necesitarías m = log log n. En general, para m = f (n) puede elegir cualquier f que esté en el espacio LOG (con n en unario). (o NC si prefiere esas reducciones).

— Artem Kaznatcheev