FPT vs W [P] - Complejidad parametrizada

En complejidad parametrizada, . Se conjetura que cada una de las contenciones es adecuada. $\mathsf{FPT} \subseteq \mathsf{W}[1]$ $\subseteq \mathsf{W}[2]$ $\subseteq \ldots \subseteq \mathsf{W}[P]$

Si entonces . $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$ $\mathsf{P}=\mathsf{W}[P]$

¿Pero se sigue que

Si entonces ? o $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[1]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$
Si (para algunas t) entonces ? $\mathsf{W}[t-1]=\mathsf{W}[t]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Uéverton dos santos souza
fuente

¿Qué significa la notación "W []"?

— Tyson Williams

¿La segunda pregunta significa "para toda t" o "para alguna t"?

— Yoshio Okamoto

La segunda pregunta significa "para algunos t"

— Uéverton dos santos souza

No estás haciendo preguntas útiles. No ha incluido definición o enlaces a la jerarquía W, aunque alguien le haya preguntado sobre eso. La respuesta a sus preguntas es probablemente "ambas están abiertas", debido a la caracterización de la jerarquía W como familias de circuitos AC0 modificados: un colapso de la jerarquía W implicaría un colapso de la complejidad del circuito. (Esto se considera evidencia de que cada nivel de la jerarquía W es un subconjunto apropiado del siguiente.) Pero tendría que verificar algunas cosas para publicar una respuesta (no en mi área), y no está tomando la pregunta en serio.

— Aaron Sterling

Un problema parametrizado (L, K) pertenece a W [t] si existe k 'calculado a partir de k tal que (L, K) se reduce al problema de saturación de peso-k' para los circuitos de trama-t. [Downey, 1997] [Downey, 1997] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Kenneth W. Regan; Serie de informes de investigación Complejidad del circuito parametrizado y la jerarquía W; Centro de Matemáticas Discretas y Ciencias de la Computación Teórica; 1997.

— Uéverton dos santos souza

Esta pregunta es complicada ya que la respuesta (hasta donde yo sé) sigue siendo "no sé".

Para agregar algo de peso a esto, Flum & Grohe [1] dan como problemas abiertos (p. 164):

¿Es estricta la jerarquía bajo el supuesto ? $\mathrm{W}$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W[P]}$

Para , ¿la igualdad implica ? $t \geq 1$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 1]$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 2]$

Además, en la monografía reciente de Downey y Fellow [2], la declaración más fuerte (directa) que hacen es (p. 521):

Una hipótesis más sutil es que la jerarquía es adecuada y, en particular, . $\mathrm{W}$ $\mathrm{W}[1] \neq \mathrm{W}[2]$

No hay una declaración siguiente (o posterior) a lo largo de las líneas "de lo contrario, la jerarquía colapsaría", o similar. $\mathrm{W}$

Esto también está precedido por:

Una hipótesis más débil podría ser que para algunos , $t$
$F P T \neq W [t]$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W}[t]$

Lo que implica que es posible que sin otros efectos en la jerarquía. $\mathrm{FPT} = \mathrm{W}[t-1]$

Referencias

J. Flum y M. Grohe, "Teoría de la complejidad parametrizada", Springer, 2006.
R. Downey y M. Fellows, "Fundamentos de la teoría de la complejidad parametrizada", Springer, 2014.

— Luke Mathieson
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