La complejidad de determinar si un gráfico fijo es un menor de otro

El resultado por Robertson y Seymour demuestra un algoritmo para comprobar que es un gráfico fijo G es un menor de H . Tengo dos preguntas y media sobre este tema:$O(n^3)$$G$$H$

1) Parece que ha habido mejoras en este algoritmo desde entonces. ¿Cuál es el algoritmo más conocido actualmente?

2a) ¿Qué conjetura la gente como el límite óptimo?

El algoritmo de Mohar para incrustar en una superficie fija y el algoritmo de Kawarabayashi para reconocer los gráficos ápice$k$ deciden la membresía de los gráficos caracterizados por menores prohibidos en tiempo lineal, motivando la última pregunta:

2b) ¿Hay alguna razón para sospechar que podemos hacer esto en tiempo lineal?

Por supuesto, si a alguien se le ocurrió un algoritmo de tiempo lineal, las dos últimas preguntas son tontas. :)

Hay una preimpresión de Ken-ichi Kawarabayashi, Yusuke Kobayashi y Bruce Reed que afirma un algoritmo de tiempo cuadrático: " El problema de los caminos disjuntos en el tiempo cuadrático ". Sin embargo, está formateado como una presentación de conferencia en lugar de un documento de diario, por lo que no estoy seguro de que sea posible verificar los detalles (realmente no lo he intentado).

Una encuesta muy reciente realizada por Kawarabayashi cita este como el resultado más conocido para el problema de los caminos disjuntos estrechamente relacionados: Ken-ichi Kawarabayashi (2011), "El problema de los caminos disjuntos: Algoritmo y Estructura", WALCOM: Algoritmos y Computación, LNCS 6552, pp . 2–7, doi: 10.1007 / 978-3-642-19094-0_2 .

$O(n\log n)$

Un artículo reciente de Isolda Adler1, Frederic Dorn, Fedor V. Fomin, Ignasi Sau y Dimitrios M. Thilikos llama Fast Testing Minor en planar gráficos muestra que cuando se busca un menor en H vértices en un grafo planar G , esto se puede hacer en 2 O ( $H$$h$ $G$$2^{O(h)} n + O(n^2 \log n)$$n$$h$