Problemas entre P y NPC

La factorización y el isomorfismo gráfico son problemas en NP que no se sabe que están en P ni en NP-Completo. ¿Cuáles son algunos otros problemas naturales (suficientemente diferentes) que comparten esta propiedad? Los ejemplos artificiales que provienen directamente de la prueba del teorema de Ladner no cuentan.

¿Alguno de estos ejemplos es probablemente NP-intermedio, suponiendo solo alguna hipótesis "razonable"?

Aquí hay una colección de algunas de las respuestas de problemas entre P y NPC:

• Factorización
• Problemas de isomorfismo: isomorfismo gráfico [no NPC a menos que ] (a través de @Jeff Kinne), Automorfismo gráfico, isomorfismo grupal, automorfismo, isomorfismo de anillo y automorfismo (a través de @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• Calcular la distancia de rotación entre dos árboles binarios o la distancia de giro entre dos triangulaciones del mismo conjunto de puntos planos (a través de @David Eppstein)
• El problema de Turnpike de reconstruir puntos en línea desde distancias (a través de @Suresh Venkat)
• Problemas derivados de la Conjetura de juegos únicos (a través de @Moritz)
• Problema de registro discreto y otros relacionados con suposiciones criptográficas (a través de @Joe Fitzsimons)
• Determinar ganador en juegos de paridad (a través de @mashca)
• Determinar quién tiene más posibilidades de ganar un juego estocástico (a través de @Peter Shor en MO)
• Problemas de números en cajas (a través de @Joshua Grochow)
• Control de agenda para torneos equilibrados de eliminación simple (a través de @virgi)
• Trivialidad de nudo (a través de @JeffE)
• (Suponiendo NEXP ≠ EXP) versiones acolchadas de problemas completos de NEXP (a través de @Joshua Grochow)
• Problemas en TFNP (a través de @Marcos Villagra)
• Intersección de SAT monótono (a través de @ András Salamon)
• Problema de tamaño de circuito mínimo (a través de @Eric Allender)
• Decidir si un múltiple triangular de 3 es una esfera de 3 (a través de @ Joe O'Rourke y @ Peter Shor)
• El problema del stock de corte con un número constante de longitudes de objeto (a través de @Suresh Venkat)
• Auto dualidad monótona (a través de @Danu)
• Bisección mínima plana (a través de @turkistany)
• Pigeonhole Subset Sum (a través de @ user834)
• Sumas de raíz cuadrada (a través de @JeffE)
• Decidir si un gráfico admite un etiquetado elegante (a través de @Oleksandr Bondarenko)
• Versión de Gap del vector más cercano en el problema de red GapCVP (a través de @MCH)$(\sqrt{n})$
• El problema de divisibilidad lineal [se sabe que es -complete pero no NPC] (a través de @Oleksandr Bondarenko)$\gamma$
• Encontrar la dimensión VC (a través de @Mohammad al Turkistany)
• Encontrar el conjunto dominante mínimo en un torneo (a través de @Mohammad al Turkistany)
• Planaridad agrupada

Mi problema favorito en esta clase (lo expresaré como un problema funcional, pero es fácil convertirlo en un problema de decisión de la manera estándar): calcule la distancia de rotación entre dos árboles binarios (equivalentemente, la distancia de giro entre dos triangulaciones de Un polígono convexo).

Un problema que no se menciona ni en esta lista ni en la lista MO es el problema de la autopista de peaje. Dado un conjunto múltiple de n (n-1) / 2 números, cada número que representa la distancia entre dos puntos en la línea, reconstruye las posiciones de los puntos originales.

Tenga en cuenta que lo que hace que esto no sea trivial es que para un número dado d en el conjunto múltiple, no sabe qué par de puntos están separados por unidades d.

Si bien se sabe que para cualquier caso solo hay un número polinómico de soluciones, ¡no se sabe cómo encontrar una!

El problema de las sumas de raíces cuadradas: Dadas dos secuencias y b 1 , b 2 , ... , b n de enteros positivos, es A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ menor que, igual o mayor queB:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• El problema tiene un algoritmo trivial de tiempo en la RAM real. ¡Solo calcule las sumas y compárelas! Pero esto no implica pertenencia a P.$O(n)$

• Existe un algoritmo obvio de precisión finita, pero no se sabe si un número polinómico de bits de precisión es suficiente para la corrección. (Ver http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html para más detalles).

• El teorema de Pythogorean implica que la longitud de cualquier curva poligonal cuyos vértices y puntos finales enteros es una suma de raíces cuadradas de enteros. Por lo tanto, el problema de la suma de raíces es inherente a varios problemas de geometría computacional plana, incluidos los árboles de expansión mínima euclidiana , los caminos más cortos euclidianos , las triangulaciones de peso mínimo y el problema del vendedor ambulante euclidiano . (El problema Euclidean MST se puede resolver en tiempo polinomial sin resolver el problema de la suma de raíces, gracias a la estructura matroide subyacente y al hecho de que el EMST es un subgráfico de la triangulación de Delaunay).

• No es un algoritmo aleatorio en tiempo polinómico, debido a Johannes Blömer , para decidir si las dos sumas son iguales. Sin embargo, si la respuesta es no, el algoritmo de Blömer no determina qué suma es mayor.

• La versión de decisión de este problema (¿ ?) Ni siquiera se sabe que está en NP. Sin embargo, el algoritmo de Blömer implica que si el problema de decisión está en NP, entonces también está en co-NP. Por lo tanto, es poco probable que el problema sea NP-completo.$A > B$

Aquí hay una lista de problemas que pueden o no calificar como "suficientemente" diferentes. Por la misma prueba que para el isomorfismo gráfico, si alguno de ellos tiene NP completo, entonces la Jerarquía polinómica se colapsa al segundo nivel. No creo que haya un amplio consenso sobre cuál de estos "debería" estar en P.

• Automorfismo de gráficos (determine si un gráfico tiene un automorfismo no trivial). Se reduce al isomorfismo gráfico, pero no se sabe (¿no se piensa?) Que sea GI-hard.
• Isomorfismo de grupo y Automorfismo (donde los grupos están dados por sus tablas de multiplicar). Nuevamente, se reduce al isomorfismo gráfico, pero no se cree que sea GI-hard.
• Anillo isomorfismo y automorfismo. En cierto sentido, este es el abuelo de todos los problemas anteriores, ya que la factorización de enteros es equivalente a encontrar un automorfismo no trivial de un anillo, y el isomorfismo gráfico se reduce a isomorfismo de anillo. Ver Neeraj Kayal, Nitin Saxena. Complejidad de los problemas del anillo de morfismo. Complejidad computacional 15 (4): 342-390 (2006). (Curiosamente, determinar si un anillo tiene un automorfismo no trivial está en ).$P$
• Esta publicación de Bill Gasarch contiene algunos otros problemas con el sabor de la teoría de Ramsey que parecen ser intermedios.
• Según el teorema de Mahaney, ningún conjunto disperso puede ser NP-completo. Pero también sabemos que hay conjuntos dispersos en - P si y sólo si N E X P no es igual a E X P . Asumiendo N E X P ≠ E X P , la versión acolchada de cualquier problema completo de N E X P es de complejidad intermedia. (Tal conjunto no puede estar en P a menos que N E X P = E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$, contradiciendo nuestra suposición.) Hay muchos problemas naturales completos de $NEXP$

El problema del tamaño mínimo del circuito (MCSP) es mi problema "natural" favorito en NP que no se conoce como NP completo: dada la tabla de verdad (de tamaño n = 2 ^ m) de una función booleana con variante m f, y dado un número s, ¿tiene f un circuito de tamaño s? Si MCSP es fácil, entonces no existe una función unidireccional criptográficamente segura. Este problema y sus variantes proporcionaron gran parte de la motivación para el estudio de los algoritmos de "fuerza bruta" en Rusia, lo que llevó al trabajo de Levin sobre la integridad de NP. Este problema también se puede ver en términos de complejidad de Kolmogorov limitada por recursos: preguntando si una cadena se puede recuperar rápidamente de una breve descripción. Esta versión del problema fue estudiada por Ko; el nombre MCSP fue usado primero por Cai y Kabanets, que yo sepa. Se pueden encontrar más referencias en algunos documentos míos: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Auto dualidad monótona

Para cualquier boolean función $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ , que es dual es $f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ . Dada $f(x_1, x_2, ..., x_n)$representado por una fórmula CNF, tenemos que decidir si $f=f^d$ .

Este problema está en co-NP [ $\log^2 n$ ], es decir, es decidible con $O(\log^2n/ \log\log n)$ pasos no deterministas. Por lo tanto, tiene un algoritmo de tiempo cuasi-polinomial (tiempo $O(n^{\log n/\log \log n})$ ) y, por lo tanto, es poco probable que sea co-NP-hard.

Todavía está abierto si este problema está en P o no. Se pueden encontrar más detalles en el documento de 2008 " Aspectos computacionales de la dualización monótona: una breve encuesta " de Thomas Eiter, Kazuhisa Makino y Georg Gottlob.

Trivialidad del nudo: Dada una cadena poligonal cerrada en 3 espacios, ¿está anudada (es decir, isotópica ambiental a un círculo plano)?

Se sabe que esto está en NP por resultados profundos en la teoría de la superficie normal, pero no se conoce un algoritmo de poli-tiempo o prueba de dureza NP.

No se sabe si es posible decidir en tiempo polinómico si el jugador 1 tiene una estrategia ganadora en un juego de paridad (desde una posición inicial dada). Sin embargo, el problema está contenido en NP y co-NP e incluso en UP y co-UP.

Obtiene una lista muy larga de problemas si está dispuesto a aceptar problemas de aproximación, como aproximar Max-Cut a un factor de 0.878. No sabemos si es NP-hard o en P (solo sabemos NP-hardness suponiendo la conjetura de Uniuqe Games).

En una fórmula CNF monótona , cada cláusula contiene solo literales positivos o solo negativos. En una fórmula CNF monótona que se cruza, cada cláusula positiva tiene alguna variable en común con cada cláusula negativa.

El problema de decisión

SAT MONOTONO INTERSECTANTE
Entrada: fórmula CNF monótona de intersección Pregunta: ¿ f es satisfactoria?$f$
$f$

tiene un algoritmo que se remonta a 1996, pero no se sabe que esté en P. (Por supuesto, podría estar en P, pero ese sería un resultado importante).$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter y Georg Gottlob, Computación Transversal Hipergráfica y Problemas Relacionados en Lógica e IA , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

¿Es un dado triangular 3-múltiple una 3-esfera? De Joe O'Rourke.

La versión Pigeonhole de Subset Sum (o Subset Sum Equality).

Dado:

n - 1 ∑ k = 0 a k < 2 n -

Según el principio del casillero, deben existir dos subconjuntos disjuntos, manera que:$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

El problema de suma de subconjuntos de casilleros pide una solución de este tipo. Originalmente indicado en " Algoritmos de aproximación eficientes para el problema de IGUALDAD SUBSET-SUMS" por Bazgan, Santha y Tuza.

Hay muchos problemas relacionados con la búsqueda de subgrupos ocultos. Usted mencionó la factorización, pero también existe el problema de registro discreto, así como otros relacionados con curvas elípticas, etc.

Aquí hay un problema en la elección social computacional que no se sabe que está en P, y puede o no ser NP-completo.

Control de agenda para torneos equilibrados de eliminación simple:

$T$$n=2^k$$a$

Pregunta: ¿existe una permutación de los nodos (un paréntesis ) para que a sea el ganador del torneo de eliminación simple inducido?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Control de agenda para torneos equilibrados de eliminación simple (formulación de gráficos):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

Algunas referencias:

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh: determinación del ganador en la votación por mayoría secuencial. IJCAI 2007: 1372-1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus y M. Wooldridge. Cómo organizar elecciones y concursos. COMSOC 2008.
3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham. Sobre la complejidad de los problemas de control de horarios para torneos eliminados. AAMAS (1) 2009: 225-232.
4. V. Vassilevska Williams. Arreglando un torneo. AAAI 2010.

Echa un vistazo a la clase TFNP . Tiene muchos problemas de búsqueda con un estado intermedio.

El problema del isomorfismo del subgrafo inducido tiene "restricciones del lado izquierdo" incompletas de NP, suponiendo que P no es igual a NP. Ver Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: Comprender la complejidad de los isomorfismos inducidos por el subgrafo , ICALP 2008.

$NP$$NP$

Problema de bisección mínima: encuentre una partición del conjunto de nodos en dos partes de igual tamaño de manera que se minimice el número de bordes cruzados.

Karpinski, aproximabilidad del problema de bisección mínima: un desafío algorítmico

El problema del material de corte con un número constante de longitudes de objeto. Vea esta discusión para más información.

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian. Una encuesta dinámica de etiquetado gráfico. The Electronic Journal of Combinatorics, 2009.
2. DS Johnson. La columna de completitud NP: una guía continua. J. Algoritmos, 4 (1): 87–100, 1983.
3. DS Johnson. La columna de completitud NP. ACM Transactions on Algorithms, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey y Johnson en su seminal "Computadoras e Intractabilidad" dicen que (pp. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

Se cree que el siguiente problema es NP-Intermedio, es decir, está en NP pero no en P ni en NP-completo.

Problema exponencial de raíz polinómica (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Para detalles adicionales vea mi pregunta y discusión relacionada .

No sé si el problema de isomorfismo de hipergrafía ponderada propuesto en la respuesta por Thinh D. Nguyen no puede mostrarse simplemente como GI completo. Sin embargo, hay un problema difícil de GI estrechamente relacionado con GI, que aún no se ha reducido a GI, a saber, el problema de isomorfismo de cuerdas (también llamado problema de isomorfismo de color ). Este es el problema que László Babai demostró estar en tiempo casi polinomial. Es de interés independiente, ya que es equivalente a una serie de problemas de decisión en la teoría de grupos (permutación):

• problema de intersección de coset
• problema de prueba de membresía de doble coset
• problema de factorización grupal

Un problema que no se sabe que está en FP o NP-hard es el problema de encontrar un árbol Steiner mínimo cuando se promete que los vértices Steiner caerán en dos segmentos de línea recta que se cruzan en un ángulo de 120 °. Si el ángulo entre los segmentos de línea es inferior a 120 °, entonces el problema es NP-duro. Se conjetura que cuando el ángulo es mayor de 120 °, entonces el problema está en FP.

Por lo tanto, el siguiente problema de decisión actualmente parece ser de complejidad intermedia:

$q$
$q$

Por supuesto, esto en realidad puede estar en P o ser NP completo, pero entonces parece que tendríamos una dicotomía interesante a 120 ° en lugar de un problema intermedio. (La conjetura también puede ser falsa).

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Steiner Trees for Terminals Constrained to Curves , SIAM J. Discrete Math. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$ -completo