Rompecabezas
Dado que el problema es largo aquí hay un caso especial que captura su sentido.
Problema: Sea A un algoritmo detrminístico para 3-SAT. Es el problema de simular completamente el algoritmo A (en cada instancia del problema). P-Space duro?
(Más precisamente, ¿hay razones para creer que esta tarea es P-Space difícil, hace algo en esta dirección a partir de conjeturas CC estándar, y hay esperanza de demostrar que esta tarea es X-difícil para alguna clase de complejidad X que se presume que es estar estrictamente por encima de NP.)
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ACTUALIZACIÓN EDITADA : Hay varias interpretaciones para "Simular completamente A". Y puede haber diferentes respuestas interesantes según la interpretación. (También Ryan Williams propuso una interpretación para simular un algoritmo no determinista). Para una determinada manera de asociar un problema de decisión a la tarea computacional "Simular completamente A", Joe Fitzsimons encontró un algoritmo A para el cual este problema de decisión asociado todavía está en NP . Si "simular completamente" se refiere a ser capaz de salida de todo el registro de la computadora en un paso determinado entonces por el algoritmo de Joe parece que es lo que se necesita. Para esta versión (creo, pero no estoy seguro), la respuesta de Ryan esboza un Argumento de dureza. Joe comentó que si a ustedes se les exige que proporcionen los registros completos (lo cual ya no es un problema de decisión), no es sorprendente que tengan que intensificar y las clases de complejidad no son las mismas.
De todos modos, si se requiere para emitir el estado de los registros a un paso prescrito entonces las respuestas de Ruan y Joe sugiere (pero de nuevo, no estoy seguro de ello) que es esencialmente . Podemos spaculate que por esta interpretación la operación empuja hacia arriba un paso mayor en el hiearachy polinomio, y que .
En cualquier caso, según estas interpretaciones, la respuesta a mi pregunta teaser es NO .
Tenía en mente una interpretación más drástica para "simular completamente un algoritmo A". (Pero tal vez la interpretación de Joe y Ryan es más interesante). Mi interpretación al "simular completamente el algoritmo A" es que usted elimina el estado de los registros en cada paso . En particular, si el algoritmo no es polinómico, su salida tampoco será polinómica. Bajo esta interpretación drástica, me preguntaba si deberíamos creer que para cada algoritmo A, C A es P-SPACE difícil, y qué podemos probar.
Motivación:
Esta pregunta fue motivada por una conferencia de Paul Goldberg ( diapositivas , video , artículo ) que describe un artículo con Papadimitriou y Savani. Demostraron que se completa el espacio P para encontrar los equilibrios calculados por el algoritmo de Lemke-Howson. El problema para encontrar algún punto de equilibrio es solo PPAD completo. Esta brecha es bastante sorprendente y ya se describen resultados similares en el conocido artículo de Papadimitriu: La complejidad del argumento de paridad y otras pruebas ineficaces de existencia (1991) . (Se sabe que los problemas de PPAD completo no pueden ser NP-hard (a menos que sucedan cosas terribles, por lo que esto está muy lejos en el mundo de la complejidad en comparación con el espacio P).
De qué trata la pregunta
Mi pregunta es sobre lagunas similares para problemas de complejidad computacional aún más antiguos y más clásicos. (Tal vez esto ya sea familiar).
Dado un problema computacional podemos distinguir entre tres problemas
a) Resolver el problema algorítmicamente
b) Llegar a la misma solución que un algoritmo específico A
c) Simular todo el algoritmo A
Por supuesto, c) es al menos tan duro como b), que es al menos tan duro como a). Los resultados mencionados anteriormente muestran una brecha entre la dificultad computacional de las tareas a) yb) para el problema de los equilibrios informáticos. Nos gustaría entender la situación (y principalmente la brecha entre a) yc) para otros problemas computacionales.
La pregunta:
La forma básica de la pregunta con un ejemplo.
Comenzamos con un problema computacional, el problema X
Un ejemplo puede ser
Problema X: resolver una instancia de SAT con n variables
también especificamos
A: un algoritmo que realiza el problema X
y planteamos un nuevo problema
Problema Y: simule exactamente el algoritmo A
y estamos interesados en la dificultad computacional del problema Y. Deseamos comprender la clase de tales problemas Y para todos los algoritmos A que resuelven el problema original X. Especialmente queremos saber qué tan fácil puede ser el problema Y (o qué tan difícil debe ser) ser) si se nos permite elegir el algoritmo A a voluntad.
La operación propuesta en clases de complejidad
Comience con una clase de complejidad que se describe en alguna tarea computacional. Dado un algoritmo de A para llevar a cabo cada instancia de esta tarea computacional, considerar una nueva clase de complejidad C A que se describe por la tarea de cálculo de simular completamente A . Entonces podemos (con suerte) definir un "ideal" de clases de complejidad
para todos los algoritmos A}.
Si dejamos que describa lo que una computadora digital puede hacer en tiempo polinómico (por lo que no quiero restringir la atención, por ejemplo, a problemas de decisión), entonces P + es el ideal abarcado por P en sí.
Finalmente mis preguntas
Mis preguntas son:
1) ¿Tiene sentido la definición (en el sentido amplio de la palabra sentido)? ¿Es bien conocido o lo mismo que (o similar a) algo bien conocido? (Mi formulación fue informal y, en particular, cuando pasamos de problemas específicos como SAT a una clase de complejidad como NP, tenemos que preocuparnos por varias cosas que descuidé).
Las siguientes dos preguntas suponen que la definición puede tener sentido o rescatarse para tener sentido.
2) Supongamos que nos equipamos con todas las conjeturas estándar con respecto a la completitud computacional. ¿Podemos decir qué se supone que es para algunas clases de complejidad familiares? (Por ejemplo, C = N P , C = P-espacio, ..)? EDIT: Varias personas señaló que P S P A C E + = P S P A C E . Entonces, ¿podemos preguntar qué es ( P N P ) + ? es P H + = P H ?
¿Podemos adivinar cuáles son las clases de competencia para que C + sea el ideal abarcado por C ?
Entonces, la pregunta de cuán fácil puede ser la tarea computacional de simular un algoritmo A para 3-SAT (cuando podemos elegir el algoritmo para hacerlo lo más fácil posible) es un caso especial interesante.
3) ¿Hay esperanza de probar algo sobre esta operación?
Por supuesto, si demuestra que todas las clases de complejidad en tienen espacio en P, esto mostrará que P = N P implica P = P S P A , lo que (creo) sería un resultado enorme y muy inesperado . Pero si muestra que todas las clases de complejidad en N P + son difíciles de decir en el tercer nivel de la Jerarquía polinómica (por ejemplo, Δ P 3 ), esto solo implicaría cosas que ya sabemos, cosas que se derivan del hecho de que P = N P hace que el PH colapse.