Sensibilidad de las propiedades del gráfico

En [1], Turan muestra que la sensibilidad (llamada "complejidad crítica" en el documento) de una propiedad gráfica es estrictamente mayor que dondees el número de vértices en el gráfico. Continúa conjeturando que cualquier propiedad de gráfico no trivial tiene sensibilidad. Menciona que esto se ha verificado para. ¿Se ha avanzado en esta conjetura? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

Antecedentes

Sea una cadena binaria en . Defina para como la cadena obtenida de volteando el bit . Para una función booleana \ a , defina la sensibilidad de en como $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . Finalmente, defina lasensibilidadde como $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Una propiedad gráfico es una colección de los gráficos tal que si y es isomorfo a entonces . Podemos pensar en una propiedad gráfica como la unión de propiedades donde es el subconjunto de consiste en gráficos con vértices. Además, podemos concebir una propiedad gráfica como una función booleana en donde $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . Podemos codificar un gráfico envértices en un vector binario de longitud; cada entrada en el vector corresponde a un par de vértices y la entrada essi ese borde está presente en el gráfico. Por lo tanto, la sensibilidad de una propiedad gráfica es su sensibilidadcomofunción booleana. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., La complejidad crítica de las propiedades del gráfico, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
fuente

¿Has visto la encuesta de 2002 de Buhrman y de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? no responde su pregunta directamente, pero tiene más información sobre la sensibilidad de las funciones en general, y también sobre las propiedades de gráficos monótonos.

— Suresh Venkat

las necesidades de codificación

bits

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

La encuesta a la que señaló Suresh trae un artículo de Wegener [1] que confirma parcialmente la conjetura. Es válido para todas las propiedades de gráficos monótonos y la desigualdad es estrecha (considere la propiedad "No tiene vértices aislados"). Cualquier resultado más reciente sería apreciado también.

Wegener, L. La complejidad crítica de todas las funciones booleanas (monótonas) y las propiedades de los gráficos monótonos. Información y control , 67: 212-222, 1985.

— mhum
fuente