¿Está contando camarillas máximas en un gráfico de incomparabilidad # P-completo?

Esta pregunta está motivada por una pregunta de MathOverflow de Peng Zhang . Valiant mostró que contar las camarillas máximas en un gráfico general es # P-completo, pero ¿qué pasa si restringimos a los gráficos de incomparabilidad (es decir, queremos contar las antichains máximas en un grupo finito)? Esta pregunta parece lo suficientemente natural como para sospechar que se ha considerado antes, pero no he podido localizarla en la literatura.

— Timothy Chow
fuente

De acuerdo con este resumen para "La complejidad de contar cortes y calcular la probabilidad de que un gráfico esté conectado" (SIAM J. Comput. 12 (1983), pp. 777-788), contar anti-cadenas en un orden parcial es # P-completo. No tengo acceso a este documento, así que no puedo decir si este resultado cubre el máximo anti-cadenas o no.

— mhum
fuente

@ András: Creo que su resultado es contar las antichains (que no son necesariamente máximas). Puede ser fácil ver que contar antichains máximos también es # P-completo, pero no puedo verlo.

— Tsuyoshi Ito

@ András: La pregunta es sobre antichains máximas, no antichains de máxima cardinalidad. No he estudiado la reducción en el documento, por lo que tal vez su reducción también demuestre la completitud # P de contar las antichains máximas al mismo tiempo, pero al menos son problemas diferentes.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: tienes razón, el papel Provan / Ball solo muestra que contar antichains de máxima cardinalidad es # P-difícil. Volver a la mesa de dibujo ...

— András Salamon

En realidad, si observa la prueba, verá que la compleción de # P se prueba para una clase de posets en la que todas las antichains máximas tienen la misma cardinalidad. Es decir, comience con cualquier gráfico bipartito

con

vértices y construya un gráfico bipartito

con

vértices agregando

vértices nuevos

. Entonces, si

es una bipartición del conjunto de vértices de

, defina un poset en

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

nuevas aristas

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

configurando

son adyacentes en

. Entonces esto responde mi pregunta.

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow el